У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?
Обозначим количество пирожных через x , а количество чашек кофе через y . Тогда стоимость пирожных будет обозначаться через выражение 25x , а стоимость чашек кофе через 10y .
25x —
стоимость x
пирожных
10y —
стоимость y
чашек кофе
Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y
25x + 10y = 200
Сколько корней имеет данное уравнение?
Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.
Говорят, что пара значений 6 и 5 являются корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Записывается как (6; 5) , при этом первое число является значением переменной x , а второе — значением переменной y .
6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25x + 10y = 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:
В этом случае корнями уравнения 25x + 10y = 200 является пара значений (4; 10) .
Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 8 и 0
Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 0 и 20
Попробуем перечислить все возможные корни уравнения 25x + 10y = 200 . Условимся, что значения x и y принадлежат множеству целых чисел. И пусть эти значения будут бóльшими или равными нулю:
x
∈ Z, y
∈ Z;
x ≥
0, y ≥
0
Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.
Заметим, что при нечетном x невозможно достичь равенства ни при каком y . Тогда значениями x будут следующие числа 0, 2, 4, 6, 8. А зная x можно без труда определить y
Таким образом, мы получили следующие пары значений (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эти пары являются решениями или корнями уравнения 25x + 10y = 200 .Они обращают данное уравнение в тождество.
Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными . Решением или корнями этого уравнения называют пару значений (x; y ), которая обращает его в тождество.
Отметим также, что если линейное уравнение с двумя переменными записано в виде ax + b y = c , то говорят, что оно записано в каноническом (нормальном) виде.
Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.
Например, уравнение 2(16x + 3y − 4) = 2(12 + 8x − y ) можно привести к виду ax + by = c . Раскроем скобки в обеих частях этого уравнения, получим 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой. Тогда получим 32x − 16x + 6y + 2y = 24 + 8 . Приведём подобные слагаемые в обеих частях, получим уравнение 16x + 8y = 32. Это уравнение приведено к виду ax + by = c и является каноническим.
Рассмотренное ранее уравнение 25x + 10y = 200 также является линейным уравнением с двумя переменными в каноническом виде. В этом уравнении параметры a , b и c равны значениям 25, 10 и 200 соответственно.
На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25x + 10y = 200, мы искали его корни толькона множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25x + 10y = 200 будет иметь бесчисленное множество решений.
Для получения новых пар значений, нужно взять произвольное значение для x , затем выразить y . К примеру, возьмем для переменной x значение 7. Тогда получим уравнение с одной переменной 25 × 7 + 10y = 200 в котором можно выразить y
Пусть x = 15 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × 15 + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −17,5
Пусть x = −3 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × (−3) + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −27,5
Для уравнения ax + by = c можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y . Отдельно взятое такое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.
Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными . Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).
Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.
Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.
Вернемся к самому первому уравнению 25x + 10y = 200 . Одной из пар значений для этого уравнения была пара (6; 5) . Это случай, когда на 200 рублей можно можно было купить 6 пирожных и 5 чашек кофе.
Составим задачу так, чтобы пара (6; 5) стала единственным решением для уравнения 25x + 10y = 200 . Для этого составим ещё одно уравнение, которое связывало бы те же x пирожных и y чашечек кофе.
Поставим текст задачи следующим образом:
«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»
Первое уравнение у нас уже есть. Это уравнение 25x + 10y = 200 . Теперь составим уравнение к условию «количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе» .
Количество пирожных это x , а количество чашек кофе это y . Можно записать эту фразу с помощью уравнения x − y = 1. Это уравнение будет означать, что разница между пирожными и кофе составляет 1.
x = y + 1 . Это уравнение означает, что количество пирожных на единицу больше, чем количество чашек кофе. Поэтому для получения равенства, к количеству чашек кофе прибавлена единица. Это легко можно понять, если воспользоваться моделью весов, которые мы рассматривали при изучении простейших задач:
Получили два уравнения: 25x + 10y = 200 и x = y + 1. Поскольку значения x и y , а именно 6 и 5 входят в каждое из этих уравнений, то вместе они образуют систему. Запишем эту систему. Если уравнения образуют систему, то они обрамляются знаком системы. Знак системы это фигурная скобка:
Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.
В нашей системе ничего выражать не нужно. Во втором уравнении x = y + 1 переменная x уже выражена. Эта переменная равна выражению y + 1 . Тогда можно подставить это выражение в первое уравнение вместо переменной x
После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x , получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200 . Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:
Мы нашли значение переменной y . Теперь подставим это значение в одно из уравнений и найдём значение x . Для этого удобно использовать второе уравнение x = y + 1 . В него и подставим значение y
Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:
Пример 2
Подставим первое уравнение x = 2 + y во второе уравнение 3x − 2y = 9 . В первом уравнении переменная x равна выражению 2 + y . Это выражение и подставим во второе уравнение вместо x
Теперь найдём значение x . Для этого подставим значение y в первое уравнение x = 2 + y
Значит решением системы является пара значение (5; 3)
Пример 3 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:
Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.
Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно .
Выражать желательно ту переменную, которая имеет коэффициент единицу. Коэффициент единицу имеет переменная x , которая содержится в первом уравнении x + 2y = 11 . Эту переменную и выразим.
После выражения переменной x , наша система примет следующий вид:
Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y
Подставим y x
Значит решением системы является пара значений (3; 4)
Конечно, выражать можно и переменную y . Корни от этого не изменятся. Но если выразить y, получится не очень-то и простое уравнение, на решение которого уйдет больше времени. Выглядеть это будет следующим образом:
Видим, что в данном примере выражать x намного удобнее, чем выражать y .
Пример 4 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:
Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:
y
Подставим y в первое уравнение и найдём x . Можно воспользоваться изначальным уравнением 7x + 9y = 8 , либо воспользоваться уравнением , в котором выражена переменная x . Этим уравнением и воспользуемся, поскольку это удобно:
Значит решением системы является пара значений (5; −3)
Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.
Решим следующую систему уравнений:
Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:
Приведем подобные слагаемые:
В результате получили простейшее уравнение 3x = 27 корень которого равен 9. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x во второе уравнение x − y = 3 . Получим 9 − y = 3 . Отсюда y = 6 .
Значит решением системы является пара значений (9; 6)
Пример 2
Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:
В результате получили простейшее уравнение 5x = 20, корень которого равен 4. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x в первое уравнение 2x + y = 11 . Получим 8 + y = 11 . Отсюда y = 3 .
Значит решением системы является пара значений (4;3)
Процесс сложения подробно не расписывают. Его нужно выполнять в уме. При сложении оба уравнения должны быть приведены к каноническому виду. То есть к виду ac + by = c .
Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.
Например, систему 
можно сразу решить методом сложения. При сложении обоих уравнений, слагаемые y
и −y
исчезнут, поскольку их сумма равна нулю. В результате образуется простейшее уравнение 11x
= 22
, корень которого равен 2. Затем можно будет определить y
равный 5.
А систему уравнений 
методом сложения сразу решить нельзя, поскольку это не приведёт к исчезновению одной из переменных. Сложение приведет к тому, что образуется уравнение 8x
+ y
= 28
, имеющее бесчисленное множество решений.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.
Вернемся к самой первой системе , которая описывала сколько пирожных и чашек кофе купил школьник. Решением этой системы являлась пара значений (6; 5) .
Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3
В результате получили систему 
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)
Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.
Вернемся к системе , которую мы не смогли решить методом сложения.
Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2
Тогда получим следующую систему:
Сложим уравнения, входящие в эту систему. Сложение компонентов 12x и −12x даст в результате 0, сложение 18y и 4y даст 22y , а сложение 108 и −20 даст 88. Тогда получится уравнение 22y = 88 , отсюда y = 4 .
Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:
Зная, что значение переменной y равно 4, можно найти значение x . Подставим y в одно из уравнений, например в первое уравнение 2x + 3y = 18 . Тогда получим уравнение с одной переменной 2x + 12 = 18 . Перенесем 12 в правую часть, изменив знак, получим 2x = 6 , отсюда x = 3 .
Пример 4 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:
Сложим оба уравнения. Сложение компонентов x и −x даст в результате 0, сложение 5y и 3y даст 8y , а сложение 7 и 1 даст 8. В результате получится уравнение 8y = 8 , корень которого равен 1. Зная, что значение y равно 1, можно найти значение x .
Подставим y в первое уравнение, получим x + 5 = 7 , отсюда x = 2
Пример 5 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:
Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения получим уравнение 8y = 16 , корень которого равен 2.
Подставим y в первое уравнение, получим 6x − 14 = 40 . Перенесем слагаемое −14 в правую часть, изменив знак, получим 6x = 54 . Отсюда x = 9.
Пример 6 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12
В получившейся системе 
первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8
Сложим уравнения в получившейся системе. Тогда получим простейшее уравнение −13y = −156 . Отсюда y = 12 . Подставим y в первое уравнение и найдем x
Пример 7 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как , а правую часть второго уравнения как , то система примет вид:
У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:
Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:
Получается, что система имеет бесчисленное множество решений.
Но мы не можем просто так взять с неба произвольные значения для x и y . Мы можем указать одно из значений, а другое определится в зависимости от значения, указанного нами. Например, пусть x = 2 . Подставим это значение в систему:
В результате решения одного из уравнений, определится значение для y , которое будет удовлетворять обоим уравнениям:
Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:
Найдём еще одну пару значений. Пусть x = 4. Подставим это значение в систему:
На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:
Пример 8 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12
Перепишем то, что осталось:
Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения образуется уравнение 6b = 48 , корень которого равен 8. Подставим b в первое уравнение и найдём a
В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:
ax + by + cz = d
Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z ) которая обращает уравнение в тождество.
Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.
Пример 1 . Решить следующую систему уравнений методом подстановки:
Выразим в третьем уравнении x . Тогда система примет вид:
Теперь выполним подстановку. Переменная x равна выражению 3 − 2y − 2z . Подставим это выражение в первое и второе уравнение:
Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:
Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z
Теперь найдём значение y . Для этого удобно воспользоваться уравнением −y + z = 4. Подставим в него значение z
Теперь найдём значение x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 3 − 2y − 2z . Подставим в него значения y и z
Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:
Пример 2 . Решить систему методом сложения
Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.
Если второе уравнение умножить на −2, то оно примет вид −6x + 6y − 4z = −4 . Теперь сложим его с первым уравнением:
Видим, что в результате элементарных преобразований, определилось значение переменной x . Оно равно единице.
Вернемся к главной системе. Сложим второе уравнение с третьим, умноженным на −1. Если третье уравнение умножить на −1, то оно примет вид −4x + 5y − 2z = −1 . Теперь сложим его со вторым уравнением:
Получили уравнение x − 2y = −1 . Подставим в него значение x , которое мы находили ранее. Тогда мы сможем определить значение y
Теперь нам известны значения x и y . Это позволяет определить значение z . Воспользуемся одним из уравнений, входящим в систему:
Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:
Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.
Задача 1 . Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?
Решение
Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как x + y = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.
Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как x − y = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.
Либо второе уравнение можно записать как x = y + 5 . Этим уравнением и воспользуемся.
Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:
Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.
Подставим второе уравнение в первое и найдём y
Подставим найденное значение y в во второе уравнение x = y + 5 и найдём x
Длина первой дороги была обозначена через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 20. Значит длина первой дороги составляет 20 км.
А длина второй дороги была обозначена через y . Значение этой переменной равно 15. Значит длина второй дороги составляет 15 км.
Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:
Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.
Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км
Следующее условие: обратно машина возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой . Видим, что решение (20; 15) удовлетворяет и этому условию, поскольку 15 км короче, чем 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км
При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.
Так наша система содержит два уравнения. Эти уравнения в свою очередь содержат переменные x и y , которые обозначают одни и те же числа в обоих уравнениях, а именно длины дорог, равных 20 км и 15 км.
Задача 2 . На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.
Решение
Пусть x дубовых и y сосновых шпал было погружено на платформу. Если всего шпал было 300, то первое уравнение можно записать как x + y = 300 .
Все дубовые шпалы весили 46x кг, а сосновые весили 28y кг. Поскольку дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем сосновые, то второе уравнение можно записать, как 28y − 46x = 1000 . Это уравнение показывает, что разница масс между дубовыми и сосновыми шпалами, составляет 1000 кг.
Тонны были переведены в килограммы, поскольку масса дубовых и сосновых шпал измерена в килограммах.
В результате получаем два уравнения, которые образуют систему
Решим данную систему. Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:
Подставим первое уравнение во второе и найдём y
Подставим y в уравнение x = 300 − y и узнаем чему равно x
Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.
Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:
Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.
Следующее условие: все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые . Видим, что решение (100; 200) удовлетворяет и этому условию, поскольку 46 × 100 кг дубовых шпал легче, чем 28 × 200 кг сосновых шпал: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.
Задача 3 . Взяли три куска сплава меди с никелем в отношениях 2: 1 , 3: 1 и 5: 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4: 1 . Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы 
, которую назовём матрицей
системы
.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.
Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .
Рассмотрим способы нахождения решений системы.
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим
матрицу системы 
и матрицы столбцы
неизвестных и свободных членов 
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A
∙X=B
.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .
Примеры. Решить системы уравнений.
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы .
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .
При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.
Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:
и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:
Где a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – заданные числа ; x, y, z – неизвестные . Числа a , b , c , e , f , g , p , q , r – коэффициенты при неизвестных ; d , h , s – свободные члены .
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
а 11 , a 12 , …, a 33 – коэффициенты при неизвестных,
b 1 , b 2 , b 3 – свободные члены.
Решить систему (2.4) – значит найти такую упорядоченную тройку чисел x 1 =c 1 , x 2 =c 2 , x 3 =c 3 , при подстановке которых в уравнения системы последние обращаются в тождества.
Система уравнений, имеющая решения (единственное или бесчисленное множество), называется совместной , система уравнений, не имеющая решений, – несовместной .
Приведем три способа решений системы (2.4).
Правило Крамера
Составим определитель системы из коэффициентов при неизвестных
(2.5)
Если , то система (2.4) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
где , , получены из определителя заменой соответственно первого, второго, третьего столбца столбцом из свободных членов системы (2.4).
(2.7)
Пример 7.
Решить систему 
Вычисляем определитель системы (2.5) и определители , , (2.6).
следовательно, система имеет единственное решение.
По формулам Крамера (2.6) находим:
Можно сделать проверку, подставив значения неизвестных в уравнения системы.
Итак, x 1 =x 2 =x 3 =1 – решение системы.
Метод Гаусса
Рассмотрим систему (2.4):
Метод Гаусса, иначе метод последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. Пусть Исключим из 2-го и 3-го уравнений системы x 1 . Получим систему:
Получим систему треугольного вида. Из 3-го уравнения найдем x 3 , подставляя его во 2-ое уравнение, найдем x 2 , затем из 1-го уравнения найдем x 1 , подставляя в него x 2 и x 3 .
Пример 8.
Решить систему 
Переставим 3-е и 1-ое уравнения, чтобы в 1-ом уравнении коэффициент при x 1 был равен 1.
Исключим x 1 из 2-го и 3-его уравнений. Для этого умножим 1-ое уравнение на (-4) и сложим его со 2-м уравнением; затем умножим 1-ое уравнение на (-6) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:
Исключим x 2 из 3-его уравнения. Для этого умножим 2-ое уравнение на (-13/10) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:
Из последнего уравнения находим x 3 = -1, подставляем во 2-ое уравнение:
10x 2 - 13(-1) = -7, -10x 2 = - 20, x 2 = 2.
Подставляя x 2 и x 3 в 1-ое уравнение, получим
Итак, решение системы: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = -1.
Решение системы с помощью обратной матрицы
Дана система: (2.8)
Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец Х – из неизвестных, матрицу-столбец В – из свободных членов.
,
Систему (2.8) можно записать в матричной форме так:
Матрица-решение Х находится по формуле:
А -1 – обратная матрица для матрицы А , она составляется из алгебраических дополнений элементов матрицы А по формуле (2.3):
– детерминант или определитель матрицы А , .
Пример 9.
Решить систему:
Введем матрицы: 
,
Обратная матрица вычислена в примере 6. По формуле (2.9) находим решение системы
Итак, x 1 =1, x 2 =1, x 3 =1.
Элементы векторной алгебры
Вектор – направленный отрезок; обозначается или . А – начало вектора, В – конец.
Длина или модуль вектора обозначается .
Рис. 21.
В координатном пространстве 0xyz вектор может быть представлен в виде
(3.1)
Эта формула дает разложение вектора по базису векторов , , ; , , - прямоугольные декартовые координаты вектора (иначе проекции вектора на оси координат).
Формулу (3.1) можно записать так:
– вектор имеет координаты , , .
Длина (модуль) вектора находится по формуле:
. (3.2)
Если вектор задан задан координатами начала A(x 1 ,y 1 ,z 1) и конца B(x 2 ,y 2 ,z 2) , то координаты находятся по формулам:
Если известны разложения векторов и по осям координат , то при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.
(3.4)
Скалярным произведением векторов и , обозначается , называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
. (3.5)
Если , , то
. (3.6)
Если векторы и коллинеарны (параллельны), то
. (3.7)
Если векторы и ортогональны (перпендикулярны), то
Или 
(3.8)
Пример 10. Даны точки А 1 (1,0,-1), A 2 (2,-1,1), A 3 (0,1,-2). Средствами векторной алгебры, учитывая, что найти:
1) координаты векторов и .
Используем формулу (3.3):
2) Координаты вектора
Используя формулы (3.4) и (3.5), получим
Или 
1.2. По правилу треугольников: , и длину вектора . Отв.:
3. Даны точки А(0,-2,3), В(2,1,4), С(3,4,5). Найти:
а) координаты (проекции) векторов и
б) координаты вектора
с) длину вектора
4. Даны векторы Найти скалярное произведение векторов .
5. Доказать, что векторы и коллинеарны.
6. Доказать, что векторы ортогональны.
Системой линейных уравнений называется совокупность рассматриваемых совместно нескольких линейных уравнений.
В системе может быть любое число уравнений с любым числом неизвестных.
Решением системы уравнений называется совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, то есть обращающая их в тождества.
Система, имеющая решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.
Для решения системы применяют различные методы.
Пусть
(число уравнений равно числу неизвестных).
Метод Крамера
Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
(7)
Для нахождения
неизвестных
применим формулу Крамера:
(8)
где
- определитель системы, элементы которого
есть коэффициенты при неизвестных:
.
получается путём
замены первого столбца определителя
столбцом свободных членов:
.
Аналогично:
;
.
Пример 1. Решить систему по формуле Крамера:
.
Решение: Воспользуемся формулами (8):
;
;
;
;
Ответ:
.
Для любой системы
линейных уравнений с
неизвестными можно утверждать:
Матричный способ решения
Рассмотрим решение системы (7) трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.
Используя правила
умножения матриц, данную систему
уравнений можно записать в виде:
,
где
.
Пусть матрица
невырожденная, т.е.
.
Умножая обе части матричного уравнения
слева на матрицу
,
обратную матрице
,
получим:
.
Учитывая, что
,
имеем
(9)
Пример 2. Решить систему матричным способом:
.
Решение: Введём матрицы:
-
из коэффициентов при неизвестных;
-
столбец свободных членов.
Тогда систему
можно записать матричным уравнением:
.
Воспользуемся
формулой (9). Найдём обратную матрицу
по формуле (6):
;
.
Следовательно,
Получили:
.
Ответ:
.
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
Основная идея применяемого метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Допустим, что
(если
,
то изменим порядок уравнений, выбрав
первым уравнением то, в котором коэффициент
при
не равен нулю).
Первый шаг: а) делим
уравнение
на
;
б) умножаем полученное уравнение на
и вычитаем из
;
в) затем полученное умножаем на
и вычитаем из
.
В результате первого шага будем иметь
систему:
,
Второй шаг: поступаем
с уравнением
и
точно так же, как с уравнениями
.
В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.
Замечание. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов, при неизвестных, и свободных членов.
Пример 3. Решить методом Гаусса систему:
.
Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака эквивалентности ~.
~
~
~
~
~
.
По полученной матрице выписываем преобразованную систему:
.
Ответ:
.
Замечание: Если
система имеет единственное решение, то
ступенчатая система приводится к
треугольной, то есть к такой, в которой
последнее уравнение будет содержать
одно неизвестное. В случае неопределённой
системы, то есть такой, в которой число
неизвестных больше числа линейно
независимых уравнений, треугольной
системы не будет, так как последнее
уравнение будет содержать более одного
неизвестного (система имеет бесчисленное
множество решений). Когда же система
несовместна, то, после приведения её к
ступенчатому виду, она будет содержать
хотя бы одно
значение вида
,
то есть уравнение, в котором все
неизвестные имеют нулевые коэффициенты,
а правая часть отлична от нуля (система
решений не имеет). Метод Гаусса применим
к произвольной системе линейных уравнений
(при любых
и
).
Теорема существования решения системы линейных уравнений
При решении системы линейных уравнений методом гаусса ответ на вопрос, совместна или несовместна данная система может быть дан лишь в конце вычислений. Однако часто бывает важно решить вопрос о совместности или несовместности системы уравнений, не находя самих решений. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Кронекера-Капелли.
Пусть дана система
линейных уравнений с
неизвестными:
(10)
Для того, чтобы система (10) была совместной, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы
.
был равен рангу её расширенной матрицы
.
Причём, если
,
то система (10) имеет единственное решение;
если же
,
то система имеет бесчисленное множество
решений.
Рассмотрим однородную систему (все свободные члены равны нулю) линейных уравнений:
.
Эта система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение .
В следующей теореме даны условия, при которых система имеет также решения, отличные от нулевого.
Терема. Для того,
чтобы однородная система линейчатых
уравнений имела нулевое решение,
необходимо и достаточно, чтобы её
определитель
был равен нулю:
.
Таким образом,
если
,
то решение- единственное. Если
,
то существует бесконечноё множество
других ненулевых решений. Укажем один
из способов отыскания решений для
однородной системы трёх линейных
уравнений с тремя неизвестными в случае
.
Можно доказать,
что если
,
а первое и второе уравнения непропорциональны
(линейно независимы), то третье уравнение
есть следствие первых двух. Решение
однородной системы трёх уравнений с
тремя неизвестными сводится к решению
двух уравнений с тремя неизвестными.
Появляется так называемое свободное
неизвестное, которому можно придавать
произвольные значения.
Пример 4. Найти все решения системы:
.
Решение. Определитель этой системы
.
Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:
.
Полагая, например,
,
получим
.
Решая систему двух
линейных уравнений, выразим
и
через
:
.
Следовательно, решение системы можно
записать в виде:
,
где
- произвольное число.
Пример 5. Найти все решения системы:
.
Решение. Нетрудно
видеть, что в данной системе только одно
независимое уравнение (два других ему
пропорциональны). Система из трёх
уравнений с тремя неизвестными свелась
к одному уравнению с тремя неизвестными.
Появляются два свободных неизвестных.
Найдя, например, из первого уравнения
при произвольных
и
,
получим решения данной системы. Общих
вид решения можно записать,
где
и
- произвольные числа.
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте
правило Крамера для решения системы
линейных уравнений с
неизвестными.
В чём сущность матричного способа решения систем?
В чём заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
Сформулируйте необходимое и достаточноё условие существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.
Примеры для самостоятельного решения
Найдите все решения систем:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
Определите, при
каких значениях
и
система уравнений
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решения;
в) имеет бесконечно много решений.
16.
; 17.
;
Найти все решения следующих однородных систем:
18.
; 19.
;
20.
; 21.
;
22.
; 23.
;
Ответы к примерам
1.
; 2.
; 3.
Ǿ; 4. Ǿ;
5.
- произвольное число.
6.
,
где
- произвольное число.
7.
; 8.
; 9.
Ǿ; 10. Ǿ;
11.
,
где
- произвольное число.
12.
,
где
и
- произвольные числа.
13.
; 14.
где
и
- произвольные числа.
15. Ǿ; 16. а)
;
б)
;
в)
.
17. а)
;
б)
;
в)
;
18.
; 19.
; 20.,
где
- произвольное число.
21.
,
где
- произвольное число.
22.
,
где
- произвольное число.
23.
,
где
и
- произвольные числа.
