Министерство Общего и профессионального технического образования
Московский Государственный Технический Университет МАМИ
Кафедра: Теоретическая механика
Реферат на тему:
Дифференциальные уравнения движения точки.
Решение задач динамики точки.
Студент: Зиновьев М.Ю.
Группа: 3-АиУ-1
Преподаватель:
Введение в динамику. Законы динамики.
Основные понятия и определения.
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.
Движение с чисто геометрической точки зрения рассматривается в кинематике. Отличие динамики состоит в том, что при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.
Понятие о силе, как об основной мере механического действия, оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но статика не касается вопроса о возможных изменениях действующих сил с течением времени., а при решении задач считали все силы постоянными. Между тем на движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются. При этом переменными могут быть и заданные (активные) силы (Активной обычно называют силу, которая, начав действовать на покоящееся тело, может привести его в движение) и реакции связей.
Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным валом; от положения тела зависит Ньютонова сила тяготения или сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды. В заключение отметим, что все введенные в статике понятия и полученные там результаты относятся в равной мере и к переменным силам, так как условие постоянства сил нигде в статике не использовалось.
Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела (Масса является еще мерой гравитационных свойств тела), В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.
Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц, т.е. от распределения масс в теле.
Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета формы тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки.
Из кинематики известно, что движение тела слагается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении конкретных задач материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. Например, материальной точкой можно считать планету при изучении ее движения вокруг Солнца или артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т.п. Соответственно поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.
Изучать динамику обычно начинают с динамики материальной точки, так как естественно, что изучение движения одной точки должно предшествовать изучению движения системы точек и, в частности, твердого тела.
ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ.
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений, посвященных изучению движения тел, и проверенные обширной общественно-производственной практикой человечества. Систематически законы динамики были впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687г. (Есть прекрасный русский перевод, сделанный А. Н. Крымовым. См.: Собрание трудов акад. А. Н. Крылова, т. VII. М.- Л., 1936). Сформулировать эти законы можно следующим образом.
Первый закон (закон инерции):
изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.
Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении. Важно отметить, что развитие динамики как науки стало возможным лишь после того, как Галилеем был открыт этот закон (1638 г.) и тем самым опровергнута господствовавшая со времен Аристотеля точка зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.
Существенным является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. Ньютон предполагал, что существует некое неподвижное (абсолютное) пространство, по отношению к которому этот закон выполняется. Но по современным воззрениям пространство - это форма существования материи, и какого-то абсолютного пространства, свойства которого не зависят от движущейся в нем материи, не существует. Между тем, поскольку закон имеет опытное происхождение (еще Галилей указал, что к этому закону можно прийти, рассматривая движение шарика по наклонной плоскости со все убывающим углом наклона), должны существовать системы отсчета, в которых с той или иной степенью приближения данный закон будет выполняться. В связи с этим в механике, переходя, как обычно, к научной абстракции, вводят понятие о системе отсчета, в которой справедлив закон инерции, постулируют ее существование и называют инерциальной системой отсчета.
Можно ли данную реальную систему отсчета при решении тех или иных задач механики рассматривать как инерциальную, устанавливается путем проверки того, в какой мере результаты, полученные в предположении, что эта система является инерциальной, подтверждаются опытом. По данным опыта для нашей Солнечной системы инерциальной с высокой степенью точности можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.
Второй закон (основной закон динамики)
устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.
Математически этот закон выражается векторным равенством
При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость
та= F . (1")
Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.
Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как это следует из закона параллелограмма сил, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей , равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид
Этот же результат можно получить, используя вместо закона параллелограмма закон независимости действия сил, согласно которому при одновременном действии на точку нескольких сил каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.
Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит:
две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
Этим законом пользуются в статике. Он играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливающий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.
При взаимодействии двух свободных материальных точек, они, согласно третьему и второму законам динамики, будут двигаться с ускорениями, обратно пропорциональными их массам.
Задачи динамики . Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие:
1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики);
2) 2) зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая, или основная, задача динамики).
Для несвободной материальной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по заданной поверхности или кривой, первая задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи. Вторая (основная) задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.
СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
Для измерения всех механических величин оказывается достаточным ввести независимые друг от друга единицы измерения каких-нибудь трех величин. Двумя из них принято считать единицы длины и времени. В качестве третьей оказывается наиболее удобным выбрать единицу измерения или массы, или силы. Так как эти величины связаны равенством (1), то произвольно единицу измерения каждой из них выбрать нельзя. Отсюда вытекает возможность введения в механике двух принципиально отличных друг от друга систем единиц.
Первый тип систем единиц.
В этих системах за основные принимаются единицы длины, времени и массы, а сила измеряется производной единицей.
К таким системам относится Международная система единиц измерения физических величин (СИ), в которой основными единицами измерения механических величин являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей же измерения силы является производная единица - 1 ньютон (Н);
1 Н - это сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 м/с 2 (1Н==1 кг-м/с 2). О том, что собой представляют 1 м, 1 кг и 1 с, известно из курса физики. Международная система единиц (СИ) введена в России как предпочтительная с 1961 г
Второй тип систем единиц.
В этих системах за основные принимаются единицы длины, времени и силы, а масса измеряется производной единицей.
К таким системам относится имевшая большое распространение в технике система МКГСС, в которой основными единицами являются метр (м), килограмм силы (кГ) и секунда (с). Единицей измерения массы в этой системе будет 1 кГс 2 / м, т. е. масса, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение 1 м/с 2 .
Соотношение между единицами силы в системах СИ и МКГСС таково: 1 кГ=9,81 Н или 1 Н=0,102 кГ.
В заключение необходимо отметить, что надо различать понятия размерность величины и единица ее измерения. Размерность определяется только видом уравнения, выражающего значение данной величины, а единица измерения зависит еще от выбора основных единиц. Например, если, как это принято, обозначать размерность длины, времени и массы соответственно символами L, Т и М, то размерность скорости L/Т, а единицей измерения может быть 1 м/с, 1 км/ч и т. д.
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СИЛ
Рассмотрим следующие постоянные или переменные силы (законы изменения переменных сил, как правило, устанавливаются опытным путем).
Сила тяжести . Это постоянная сила , действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности. Модуль силы тяжести равен весу тела.
Опытом установлено, что под действием силы любое тело при свободном падении на Землю (с небольшой высоты и в безвоздушном пространстве) имеет одно и то же ускорение , называемое ускорением свободного падения, а иногда ускорением силы тяжести ( Закон свободного падения тел был открыт Галилеем. Значение q в разных местах земной поверхности различно; оно зависит от географической широты места над уровнем моря. На широте Москвы (на уровне моря) q= 9,8156м/с2
Тогда из уравнения (1") следует, что
Р=т q или т=Р/ q . (3)
Эти равенства позволяют, зная массу тела, определить его вес (модуль действующей на него силы тяжести) или, зная вес тела, определить его массу. Вес тела или сила тяжести, как и величина q, изменяются с изменением широты и высоты над уровнем моря; масса же является для данного тела величиной неизменной.
Сила трения . Так будем кратко называть силу трения скольжения, действующую (при отсутствии жидкой смазки) на движущееся тело. Ее модуль определяется равенством
где f - коэффициент трения, который будем считать постоянным;
N - нормальная реакция.
Сила тяготения . Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для двух материальных точек с массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга, выражается равенством
где f-гравитационная постоянная (в СИ/=6,673*
).
Сила упругости . Эта сила тоже зависит от расстояния. Ее значение можно определить исходя из закона Гука, согласно которому напряжение (сила, отнесенная к единице площади) пропорционально деформации. В частности, для силы упругости пружины получается значение
где l - удлинение (или сжатие) пружины; с - так называемый коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).
Сила вязкого трения . Такая сила, зависящая от скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде (или при наличии жидкой смазки) и может быть выражена равенством
где v - скорость тела; m, - коэффициент сопротивления. Зависимость вида (7) можно получить исходя из закона вязкого трения, открытого Ньютоном.
Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления . Эта сила тоже зависит от скорости и действует на тело, движущееся в такой, например, среде, как воздух или вода. Обычно ее величину выражают равенством
(8)
где р - плотность среды; S - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь миделя);
Сx:-безразмерный коэффициент сопротивления, определяемый обычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, как оно ориентировано при движении.
Инертная и гравитационная массы.
Для экспериментального определения массы данного тела можно исходить из закона (1), куда масса входит как мера инертности и называется поэтому инертной массой. Но можно исходить и из закона (5), куда масса входит как мера гравитационных свойств тела и называется соответственно гравитационной (или тяжелой) массой. В принципе ни откуда не следует, что инертная и гравитационная массы представляют собой одну и ту же величину. Однако целым рядом экспериментов установлено, что значения обеих масс совпадают с очень высокой степенью точности (по опытам, проделанным советскими физиками (1971 г.),- с точностью до ). Этот экспериментально установленный факт называют принципом эквивалентности. Эйнштейн положил его в основу своей общей теории относительности (теории тяготения).
Исходя из изложенного, в механике пользуются единым термином «масса», определяя массу как меру инертности тела и его гравитационных свойств.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Для решения задач динамики точки будем пользоваться одной из следующих двух систем уравнений.
Уравнения в декартовых координатах .
Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями:
Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения (9), определить действующую на точку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т.е. уравнения (9). Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у, zг этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики.
Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил ., по отношению к инерциальной системе отсчета Охуг.
Проектируя обе части равенства (2), т.е. равенства оси х, у,
zг и
учитывая, что 
и т.д., получим
(10)
или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,
Это и будут искомые уравнения, т.е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z, и от скорости, т. е. от , , то в общем случае правая часть каждого из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е. t, х, у, z, одновременно.
Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника . Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства на оси M t nb, т.е. на касательную М t: к траектории точки, главную нормаль Мп, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb
 |
Тогда, учитывая, что , , получим
(11)
Уравнения (11), где v=ds!dt, представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.
РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
(ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ПО ЗАДАННОМУ ДВИЖЕНИЮ)
Если ускорение движущейся точки задано, то действующая сила или реакция связи сразу находится по уравнениям (1) или (2). При этом для вычисления реакции надо дополнительно знать активные силы. Когда ускорение непосредственно не задано, но известен закон движения точки, то для определения силы можно воспользоваться уравнениями (10) или (11).
РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ
Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.
Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось Ох, то движение точки будет определяться первым из уравнений (10), т. е. уравнением
или (12)
Уравнение (12) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:
(13)
В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты х, а не от времени t (или когда сами силы зависят от х), уравнение (13) преобразуют к переменному х. Так как dVx/dt=dVx/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, то вместо (13) получим
(14)
Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. x=f(t).
Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение. Чтобы яснее было, к чему сводится эта математическая задача, напомним, что входящие в правую часть уравнения (12) силы могут зависеть от времени t,
от положения точки, т. е. от х,
и от ее скорости, т.
е. от Vy=x.
Следовательно, в общем случае уравнение (12) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее вид 
.
Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение (12) будет проинтегрировано, то в полученное решение войдут две постоянные интегрирования и и общее решение уравнения (12) будет иметь вид
(15)
Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных . Для этого используются обычно так называемые начальные условия.
Изучение всякого движения будем начинать с некоторого определенного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t=0. Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент - начальной скоростью (начальную скорость точка может иметь или потому, что до момента t=0 она двигалась по инерции, или в результате действия на нее до момента t=0 каких-то других сил). Чтобы решить основную задачу динамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент времени.
В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в виде
При t=0 ,. (16)
По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных и найти частное решение уравнения (12), дающее закон движения точки, в виде
Законы механики Галилея – Ньютона
В основу динамики положены законы (аксиомы), являющиеся обобщением практической деятельности человека. Из этих законов логически выводятся различные положения механики. Эти законы были обобщены Галилеем и Ньютоном и сформулированы применительно к материальной точке.
Первый закон Ньютона (закон инерции). Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.
И в первом, и во втором случаях ускорение точки равно нулю, Такое кинематическое состояние точки называется инерциальным .
Все системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называются инерциальными .
Второй закон Ньютона (основной закон динамики). Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе (рис. 1).
Этот закон можно выразить в форме
(1)
где m положительный коэффициент, характеризующий инертные свойства материальной точки, называется массой точки. Масса в классической механике считается величиной постоянной. За единицу массы в системе СИ принят килограмм (кг); – ускорение точки; – приложенная к точке сила.
| Рис. 1 | Рис. 2 |
Массу обычно определяют по силе тяготения и ускорению свободного падения у поверхности Земли. Согласно (1), имеем
Третий закон Ньютона
(закон о равенстве сил действия и противодействия). Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению (рис. 2), т.е. 
Четвертый закон (закон независимости действия сил). При одновременном действии нескольких сил материальная точка приобретает ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые она приобрела бы под действием каждой из этих сил в отдельности. Таким образом, приложенные к материальной точке силы действуют на нее независимо друг от друга.
Пусть к материальной точке приложена система сил 
то, согласно второму закону Ньютона, ускорение от действия каждой силы определяется по выражению (1):
Ускорение при одновременном действии всех сил
(3)
Суммируя (2) и используя (3), получаем основное уравнение динамики точки:
Но такое же ускорение точка приобретает и под действием одной силы
Так как система сил 
и сила сообщают точке одно и то же ускорение, то эта система сил и сила эквивалентны.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
3.1.2.1. Дифференциальные уравнения движения свободной точки
| Рис. 3 |
Пусть на свободную материальную точку действует система сил, имеющая равнодействующую см. рис. 3. Тогда, согласно основному закону динамики,
(4)
Ускорение точки может быть представлено в виде 
, поэтому равенство (4) принимает вид:
. (5)
Уравнение (5) – векторное дифференциальное уравнение движения материальной точки. Если его спроектировать на оси декартовой системы координат, то получатся дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти оси:
При движении точки в плоскости Oxy система уравнений (6) принимает вид:
При движении точки по прямой вдоль оси Ox получаем одно дифференциальное уравнение движения:
Спроектировав равенство (5) на естественные оси координат, получим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси координат:
1.2.2. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки
Несвободную точку на основании принципа освобождаемости от связей можно превратить в свободную, заменив действие связей их реакциями. Пусть – равнодействующая реакций связей, тогда основное уравнение динамики точки примет вид:
(7)
Спроектировав (7) на оси декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения движения несвободной точки в проекциях на эти оси:
Для решения задач к этим уравнениям надо добавить еще уравнения связей.
Дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси координат:
1.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения точки
Основное уравнение динамики точки 
справедливо для инерциальной системы отсчета, где ускорение является абсолютным. Согласно теореме Кориолиса абсолютное ускорение
где – ускорение переносного движения; – относительное ускорение точки по отношению к подвижной системе координат; – ускорение Кориолиса.
Подставив выражение абсолютного ускорения в основное уравнение динамики точки, получим
Введем обозначения: 
– переносная сила инерции; 
– кориолисова сила инерции.
Тогда уравнение (9) принимает вид
(10)
Полученное равенство выражает динамическую теорему Кориолиса.
Теорема Кориолиса . Относительное движение материальной точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции.
Рассмотрим случай относительного равновесия точки 
Тогда и ускорение Кориолиса 
Подставив эти значения в уравнение (10), получим условие относительного равновесия точки:
Чтобы основной закон динамики для относительного движения точки совпадал с основным законом ее абсолютного движения, необходимо выполнение условий:
Это условие выполняется, если подвижная система координат движется поступательно 
прямолинейно и равномерно 
По отношению к данным системам отсчета, как и по отношению к неподвижным, при 
будет выполняться закон инерции. Поэтому все системы отсчета, движущиеся поступательно, прямолинейно и равномерно, а также покоящиеся, являются инерциальными
.
Так как законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, то во всех этих системах механические явления протекают совершенно одинаково, если за начало отсчета принято одно и то же событие. Отсюда следует принцип относительности классической механики.
Принцип относительности классической механики. Никакими механическими опытами нельзя обнаружить инерциальное движение системы отсчета, участвуя вместе с ней в этом движении.
· Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
.
· Векторное уравнение 
может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:
· При известной траектория движения точки уравнение может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:
С учетом того, что ,
где - тангенциальное ускорение;
- нормальное ускорение,
уравнения примут вид:
Общие теоремы динамики
· Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.
· Теорема об изменении количества движения:
изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени 
- для материальной точки;
- для механической системы.
· Теорема об изменении кинетической энергии:
изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении 
- для материальной точки;
- для механической системы.
· Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с , при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
- при поступательном движении тела;
- при вращательном движении тела;
- при плоско-параллельном движении тела.
· Момент инерции цилиндра относительно его оси:
.
· Момент инерции стержня относительно оси z
:
.
· Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х
иy
: 
.
· Момент инерции шара определяется по формуле:
.
· Работа силы тяжести:
,
где P
- сила тяжести;
h
- изменение положения тела по вертикали.
· Работа силы при вращательном движении тела
,
где M
- момент силы,
w
- угловая скорость тела.
Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.
Принцип Даламбера
· Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной
:
.
· Для механической системы:
.
Примеры решения задач
Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»
Пример 1. Условия равновесия
Висящий на нити, под углом в сорок пять градусов к гладкой стене шар весом в десять Ньютон, находится в состоянии равновесия (рис. а
). Необходимо определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити.
Дано:
P
= 10 Н; α
= 45°
Найти:
N, T - ?
Решение.
Отбрасываем связи, а их действие на шар заменяем реакциями.
Реакция стенки N
направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С
к центру шара О
), реакция нити Т
- вдоль нити от точкиА
к точке В
.
Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару.
Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис.б ).
Реакции N и Т по величине неизвестны. Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме - геометрической, аналитической).
При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.).
В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. в
), из которого получаем:
После подстановки в формулы числовых значений, получим:
.
Ответ: .
Решение примеров
Невязкой или идеальной жидкостью называют жидкость, частицы которой обладают абсолютной подвижностью. Такая жидкость неспособна сопротивляться сдвигающим усилиям и поэтому касательные напряжения в ней будут отсутствовать. Из поверхностных сил в ней будут действовать только нормальные усилия....ДИНАМИКА
Электронный учебник по дисциплине: ”Теоретическая механика”
для студентов заочной формы обучения
Соответствует Федеральному образовательному стандарту
(третьего поколения)
Сидоров В.Н.,д.т.н.,профессор
Ярославский государственный технический университет
Ярославль, 2016
Введение …………………………………………………………………
Динамика…………………………………………………………………..
1.Введение в динамику. Основные положения …………………………
1.1.Основные понятия и определения ………………………………...
1.2.Законы Ньютона и задачи динамики ………………………………
1.3.Основные виды сил …………………................................................
Сила тяготения ……………………………………….. ………........
Сила тяжести ………………………………………………………..
Сила трения …………………………………………………………
Сила упругости ……………………………………………………..
1.4.Дифференциальные уравнения движения………………………..
Дифференциальные уравнения движения точки ………………..
Дифференциальные уравнения движения механической
системы …………………………………………………………….
2.Общие теоремы динамики ………………………. ……………………
2.1.Теорема о движении центра масс ……………….. ………………
2.2.Теорема об изменении количества движения ……………………
2.3.Теорема об изменении момента количества движения …… ……
Теорема моментов …………………………………………………
Кинетический момент твердого тела…………………………….
Осевой момент инерции твердого тела …………………………..
Теорема Гюйгенса – Штейнера – Эйлера ………………………..
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела …
2.4.Теорема об изменении кинетической энергии …………………..
Теорема об изменении кинетической энергии материальной
точки ……………………………………………………………….
Теорема об изменении кинетической энергии механической
системы ……………………………………………………………
Формулы для подсчета кинетической энергии твердого тела
в разных случаях движения ………………………………………
Примеры вычисления работы сил ……………………………….
2.5.Закон сохранения механической энергии ……………………….
Введение
«Кто не знаком с законами механики
тот не может познать природы»
Галилео Галилей
Значение механики, ее значительная роль в совершенствовании производства, повышении его эффективности, ускорении научно-технического процесса и внедрении научных разработок, росте производительности труда и улучшении качества выпускаемой продукции,к сожалению, понимается достаточно отчетливо не всеми руководителями министерств и ведомств, высших учебных заведений, равно как и то, что представляет механика наших дней /1/.Как правило, о ней судят по содержанию теоретической механики, изучаемой во всех высших технических учебных заведениях.
Студенты должны знать, насколько важна теоретическая механика, как одна из основополагающих инженерных дисциплин высшей школы,научная основа важнейших разделов современной техники, своеобразный мост, соединяющий математику и физику с прикладными науками, с будущей профессией. На занятиях по теоретической механике впервые студентам прививается системное мышление, умение ставить и решать практические задачи. Решать их до конца, до числового результата. Учиться анализировать решение, устанавливать границы его применимости и требование к точности исходных данных.
Не менее важно знать студентам, что теоретическая механика лишь вводная, хотя и совершенно необходимая, часть колоссального здания современной механики в широком понимании этой фундаментальной науки. Что она будет развиваться в других разделах механики: сопротивлении материалов, теории пластин и оболочек,теории колебаний, регулирования и устойчивости, кинематике и динамики машин и механизмов, механике жидкости и газа, химической механике.
Достижения всех разделов машиностроения и приборостроения, строительной индустрии и гидротехники, добычи и переработки руды, каменного угля, нефти и газа, железнодорожного и автомобильного транспорта, судостроения, авиации и космической техники опираются на глубокое понимание законов механики.
Учебное пособие предназначено для студентов машиностроительных, автомеханических специальностей заочной формы обучения в техническом университете по сокращенной программе курса.
Итак, несколько определений.
Теоретическая механика – это наука, изучающая общие законы механического движения и равновесия материальных объектов и возникающие при этом механические взаимодействия между материальными объектами.
Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам.
Под механическим взаимодействием подразумевают такие действия тел друг на друга, при которых изменяются движения этих тел, либо они сами деформируются (меняют свою форму).
Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.
ДИНАМИКА
Введение в динамику. Основные положения
Основные понятия и определения
Сформулируем еще раз в несколько ином виде определение динамики как части механики.
Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных объектов, с учетом действующих на них сил .
Обычно изучение динамики начинают с изучения динамики материальной точки и затем переходят к изучению динамики механической системы .
В силу схожести формулировок многих теорем и законов этих разделов динамики, дабы избежать излишнего дублирования и сократить текстовый объем учебника, целесообразно излагать эти разделы динамики совместно.
Введем некоторые определения.
Инерция (закон инерции ) – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения в отсутствии действия на него со стороны других тел (т.е в отсутствии сил) .
Инертность - способность тел сопротивляться попыткам изменить с помощью сил их состояние покоя или равномерного прямолинейного движения .
Количественной мерой инерции служит масса (m). Эталоном массы является килограмм (кг).
Отсюда следует, что чем инертнее тело, чем больше его масса, тем меньше меняется его состояние покоя или равномерного движения под действием определенной силы, меньше меняется скорость тела, т.е. тело лучше сопротивляется воздействию силы. И наоборот, чем меньше масса тела, тем больше меняется его состояние покоя или равномерного движения, сильнее меняется скорость тела, т.е. тело хуже сопротивляется воздействию силы.
Законы и задачи динамики
Сформулируем законы динамики материальной точки. В теоретической механике они принимаются как аксиомы. Справедливость этих законов обусловлена тем, что на их базе строится все здание классической механики, законы которой выполняются с большой точностью. Нарушения законов классической механики наблюдаются только при больших скоростях (релятивистская механика) и в масштабах микромира (квантовая механика).
Основные виды сил
Прежде всего, введем разделение всех встречающихся в природе сил на активные и реактивные (реакции связей).
Активной называют такую силу, которая может привести в движение покоящееся тело .
Реакция связи возникает в результате действия активной силы на несвободное тело и препятствует перемещению тела . Собственно поэтому, являясь следствием, откликом, последействием активной силы.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах механики силы.
Сила тяготения
Эта сила гравитационного притяжения между двумя телами, определяемая законом всемирного тяготения:
где - ускорение силы тяжести у поверхности Земли, численно равное g ≈ 9,8 м/с 2 , m – масса тела, или механической системы, определяемая как совокупная масса всех точек системы:
где - радиус-вектор k- ой точки системы. Координаты центра масс можно получить, спроецировав обе части равенства (3.6) на оси:
 | (7) |
Сила трения
В инженерных расчетах исходят из экспериментально установленных закономерностей, называемых законами сухого трения (в отсутствии смазки), или законами Кулона :
· При попытке сдвинуть одно тело вдоль поверхности другого возникает сила трения (сила трения покоя
), величина которой может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения . 
· Величина предельной силы трения , равна произведению некоторого безразмерного, экспериментально определяемого коэффициента трения f на силу нормального давления N , т.е.
| . | (8) |
· По достижению предельного значения силы трения покоя за исчерпанием сцепных свойств сопрягающихся поверхностей тело начинает перемещаться вдоль опорной поверхности, причем сила сопротивления движению практически постоянна и не зависит от скорости (разумных пределах). Эта сила называется силой трения скольжения и она равна предельному значению силы трения покоя.
· поверхности.
Приведем значения коэффициента трения для некоторых тел:
Табл. 1
Трение качения
Рис.1
При качении колеса без проскальзывания (рис. 1) реакция опоры несколько смещается вперед по ходу движения колеса. Причина этого – в несимметричности деформации материала колеса и опорной поверхности в зоне контакта. Под действием силы давление у края В зоны контакта возрастает, а у края А убывает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону движения колеса на величину k , называемой коэффициентом трения качения . На колесо действует пара сил и с моментом сопротивления качению, направленным против вращения колеса:
В условиях равновесия при равномерном качении моменты пар сил , и , уравновешивают друг друга: , откуда вытекает оценка значения силы, направленной против движения тела: 
. (10)
Отношение для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f. Этим и объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.
Сила упругости
Эта сила, с которой деформированное тело стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние. Если, например, растянуть пружину на величину λ , то сила упругости и ее модуль равны, соответственно:
| . | (11) |
Знак минус в векторном соотношении показывает, что сила направлена в противоположную сторону от перемещения . Величина с носит название «жесткость » и имеет размерность Н/м.
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнений движения точки
Вернемся к выражению основного закона динамики точки в виде (3.2), записав его в виде векторных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков (нижний индекс будет соответствовать номеру силы):
 | (17) |
 | (18) |
Сравним, например, системы уравнений (15) и (17). Легко увидеть, что в описание движения точки в координатных осях сводится к 3-м дифференциальным уравнениям 2-го порядка, или (после преобразования), к 6-и уравнениям 1-го порядка. В тоже время описание движения точки в естественных осях связано со смешанной системой уравнений, состоящей из одного дифференциального уравнения 1-го порядка (относительно скорости ) и двух алгебраических.
Отсюда можно сделать вывод, что при анализе движения материальной точки иногда проще решать первую и вторую задачи динамики, формулируя уравнения движения в естественных осях .
К первой или прямой задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по заданным уравнениям движения точки, ее массе необходимо найти силу (или силы) действующие на нее.
Ко второй или обратной задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по ее массе, силе (или силам), действующей на нее и известным кинематическим начальным условиям требуется определить уравнения ее движения.
Необходимо отметить, что при решении 1-й задачи динамики дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические, решение системы которых является тривиальной задачей. При решении 2-ой задачи динамики для решения системы дифференциальных уравнений необходимо сформулировать задачу Коши, т.е. добавить к уравнениям т.н. «краевые» условия. В нашем случае – это условия, налагающие ограничения на положение и скорость в начальный (конечный) момент времени, или т.н. «
Поскольку по закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда парные (действуют на каждую из двух взаимодействующих точек), они равны, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки, то их сумма попарно равна нулю. Кроме того, сумма моментов этих двух сил относительно любой точки также равна нулю. Это означает, что сумма всех внутренних сил исумма моментов всех внутренних сил механической системы порознь равны нулю :
| , | (22) |
 .
| (23) |
Здесь, - соответственно главный вектор и главный момент внутренних сил, вычисленный относительно точки О.
Равенства (22) и (23) отражают свойства внутренних сил механической системы .
Пусть на некую k
–ю материальную точку механической системы действуют одновременно как внешние, так и внутренние силы. Поскольку они приложены к одной точки, их можно заменить равнодействующими соответственно внешних () и внутренних ()сил. Тогда основной закон динамики k
–й точки системы может быть записан, как 
, следовательно для всей системы будет:
 | (24) |
Формально число уравнений в (24) соответствует числу n точек механической системы.
Выражения (24) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме , если в них заменить вектора ускорений первой или второй производными от скорости и радиус-вектора соответственно: По аналогии с уравнениями движения одной точки (15) эти векторные уравнения можно преобразовать в систему из 3n дифференциальных уравнений 2-го порядка.
Общие теоремы динамики
Общими называются такие теоремы динамики материальной точки и механической системы, которые дают закономерности справедливые для любых случаев движения материальных обьектов в инерциальной системе отсчета.
Эти теоремы вообще говоря являются следствиями из решений системы дифференциальных уравнений, описывающей движения материальной точки и механической системы.
