Положение тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота вокруг полюса (см. § 52). Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс принять центр масс С тела (рис. 327) и определять положение тела координатами и углом
На рис. 327 изображено сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на тело действуют внешние силы лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдем по теореме о движении центра масс
а вращательное движение вокруг центра С будет определяться уравнением (66), так как теорема, из которой получено это уравнение, справедлива и для движения системы вокруг центра масс. В результате, проектируя обе части равенства (70) на координатные оси, получим:
Уравнения (71) представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. С их помощью можно по заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих сил.
При несвободном движении, когда траектория центра масс известна, уравнения движения точки С удобнее составлять в проекциях на касательную и главную нормаль к этой траектории. Тогда вместо системы (71) получим:
где - радиус кривизны траектории центра масс.
Заметим, что если движение является несвободным, то в правые части уравнений (71) или (72) войдут еще неизвестные реакции связей. Для их определения надо будет составить дополнительные уравнения, отражающие те условия, которые налагаются на движение тела связями (см. задачу 151 и др.). Часто уравнения несвободного движения будут составляться проще с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, которой можно воспользоваться вместо одного из уравнений (71) или (72).
Задача 151. Сплошной однородный круговой цилиндр скатывается по наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 328). Определить ускорение центра цилиндра и наименьший коэффициент трения цилиндра о плоскость, при котором возможно качение без скольжения, в двух случаях: 1) пренебрегая сопротивлением качению; 2 учитывая сопротивление качению (коэффициент трения качения k и радиус цилиндра R известны).
Решение. 1. Изображаем действующие на цилиндр силы; силу тяжести наименьшую силу трения F, при которой возможно качение без скольжения, реакцию N плоскости, приложенную, когда сопротивление качению не учитывается, в точке касания.
Направим ось вдоль наклонной плоскости, а ось Оу - перпендикулярно ей.
Так как вдоль оси центр масс цилиндра не перемещается, то и первое из уравнений (71) дает
Составляя другие два уравнения системы (71), учтем, что и будем считать момент положительным, когда он направлен в сторону вращения цилиндра. Получим:
Уравнения (а) содержат три неизвестные величины ей F (здесь нельзя считать так как это равенство имеет место, когда точка касания скользит вдоль плоскости, а при отсутствии скольжения может быть см. § 23). Дополнительную зависимость между нризвестными величинами найдем, учитывая, что при качении откуда, дифференцируя, получим Тогда второе из равенств (а), если учесть, что для сплошного цилиндра примет вид
Подставляя это значение F в первое из равенств (а), получим
Теперь находим из выражения (б)
Такая сила трения должна действовать на катящийся цилиндр, чтобы он катился без скольжения. Выше было указано, что Следовательно, чистое качение будет происходить, когда
Если коэффициент треиия будет меньше этой величины, то сила F не может принять значения, определяемого равенством (), и цилиндр будет катиться с проскальзыванием. В этом случае не связаны зависимостью (точка касания не является мгновенным центром скоростей), но зато величина F имеет предельное значение, т. е. а, и уравнения (а) принимают вид:
Центр цилиндра в этом случае движется с ускорением а сам цилиндр вращается с угловым ускорением , значения которых определяются равенствами
2. При учете сопротивления качению реакция N будет смещена в сторону движения на величину k (расположена так, как на рис. 308, б) и ее момент относительно центра С будет равен Тогда второе из уравнений (а) примет вид
Остальные уравнения сохраняют свой вид, т. е. будет по-прежнему
Из уравнений учитывая, что и в данном случае наймем окончательно:
После этого из неравенства получим, что f должно иметь для обеспечения качения без скольжения значение
Задача 152. По шероховатой цилиндрической поверхности радиуса R (рис. 329) из положения, определяемого углом начинает катиться без скольжения сплошной однородный цилиндр радиусом . Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра цилиндра, когда угол мал. Найти также, при каких значениях возможно качение без скольжения, если коэффициент трения цилиндра о поверхность
Решение. Рассмотрим цилиндр при его качении вниз (движение происходит в вертикальной плоскости). В положении, определяемом углом на цилиндр действуют сила тяжести сила трения скольжения F и реакция
Проведя касательную к траектории центра С (в сторону движения этого центра) и учтя, что для цилиндра составим первое и третье из уравнений в виде:
где - угловая скорость цилиндра.
Выразим все скорости через . Одновременно учтем, что в точке К. находится мгновенный центр скоростей. Тогда, поскольку при качении цилиндра вниз убывает и будет:
При этих значениях и уравнения (а) примут вид:
Исключая из равенств (б) силу F, найдем окончательно следующее дифференциальное уравнение, определяющее движение центра С:
Поскольку очевидно, что при движении цилиндра то, когда угол мал, можно приближенно принять . Тогда получим известное дифференциальное уравнение гармонических колебаний
В данной задаче при Интегрируя уравнения (в) при этих: начальных условиях, найдем следующий закон малых колебаний цилиндра:
Период этих колебаний
В заключение найдем условие качения без скольжения, учитывая, что (см. § 23). Значение F дает второе из равенств (б):
Но согласно уравнению (в) и так как то окончательно
Теперь заметим, что при малом часть цилиндрической поверхности, по которой катается цилиндр, можно рассматривать как часть горизонтальной плоскости и считать приближенно Тогда неравенство дает Так как наибольшее значение равно то при рассматриваемых малых колебаниях качение цилиндра будет происходить без скольжения, когда
Задача 153. Тело весом Р опирается в точке В на пьезоэлектрический датчик прибора, измеряющего силу давления, а в точке А поддерживается нитью AD (рис. 330). При равновесии линия АС горизонтальна, а давление в точке В равно Вычислить, чему равен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс С, если в момент, когда нить пережигают, давление в точке В становится равным Расстояние l известно.
Решение. 1. В положении равновесия Отсюда находим
2. Когда нить пережигают, тело начинает двигаться плоскопараллельно. Для начального элементарного промежутка времени изменением положения тела можно пренебречь. Тогда уравнения (71), справедливые только для этого промежутка времени, будут иметь вид:
Так как то точка С начинает перемещаться по вертикали вниз, а точка В скользит горизонтально (трение в опоре считаем малым). Восставляя перпендикуляры к направлениям этих перемещений, находим, что мгновенный центр скоростей будет в точке К? Следовательно, Дифференцируя это равенство и считая в течение рассматриваемого элементарного промежутка времени , получим Тогда первое из уравнений (а) дает
Определяя отсюда , найдем окончательно
Полученный результат можно использовать для экспериментального определения моментов инерции.
Задача 154. Вес автомобиля с колесами равен Р (рис. 331); вес каждого из четырех его колес равен , радиус , радиус инерции относительно оси
К задним (ведущим) колесам приложен вращающийся момент . Автомобиль, начиная движение из состояния покоя, испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату его поступательной скорости: . Момент трепня в оси каждого колеса . Пренебрегая сопротивлением качению, определить: 1) предельную скорость автомобиля; 2) силу трения скольжения, действующую на ведущие и ведомые колеса при движении.
Решение. 1. Для определения предельной скорости составим дифференциальное уравнение движения автомобиля, пользуясь равенством (49)
Кинетическая энергия автомобиля равна энергии кузова и колес. Учитывая, что Р - вес всего автомобиля, (так как скорость центра С колеса равна скорости у кузова), получим
В земных условиях любые движущиеся тела (или приходящие в движение) соприкасаются с веществом окружающей среды либо с другими телами. При этом возникают силы, оказывающие сопротивление их движению. Силы эти именуются силами трения, они переводят часть движения во внутреннюю энергию, что сопровождается нагреванием тел и окружающей среды.
Трение бывает внешним и внутренним. Внутреннее (иначе называемое вязкостью) заключается в возникновении касательной силы между перемещающимися слоями жидкость или газа, мешающей этому перемещению.
В отличие от него, внешнее трение возникает в местах контакта твердых тел в виде силы, касательной к их поверхности и затрудняющей их взаимное перемещение. Оно, в свою очередь, подразделяется на статическое и кинематическое. Статическое трение проявляется при попытке сдвинуть одно неподвижное тело относительно другого. Кинематическое существует между движущимися телами, соприкасающимися между собой. Внешнее трение можно разделить на трение скольжения и качения.
В чем физический смысл трения? Полезно оно или вредно? На первый взгляд, трение только мешает нам: изнашиваются детали механизмов, шины автомобилей, стираются подошвы ботинок и т. д. И создание невозможно лишь по этой причине. Но приглядимся повнимательнее. Исчезнет трение - мы не сможем ни шагать, ни листать книгу, ни тронуть с места автомобиль, ни остановить движущийся. Огромное число в мире базируется на трении. Два главных достижения человечества, определивших развитие цивилизации - добыча огня и изобретение колеса - были бы без него невозможны.
Основано данное явление на неровности любых тел: при соприкосновении зазубрины одного всегда цепляются за шероховатости другого. Для идеально гладких (например, тщательно отшлифованных) поверхностей, плотно прилегающих друг к другу, действуют законы молекулярного трения, основанного на взаимном притяжении молекул.
Изучает трение наука трибология. В 1781 году французским физиком Ш. Кулоном были сформулированы основные законы сухого трения. Опытным путем ученый установил, что сила трения F, возникающая при скольжении, прямо пропорциональна действующей на тело силе N нормального давления. Эта зависимость выглядит следующим образом:
где величина k - коэффициент трения (коэффициент пропорциональности). Его величина была вычислена так: тело помещалось на наклонную плоскость и путем изменения угла наклона достигалось его При этом сила трения F равнялась движущей силе P:
F = P ∙ sin a;
Величина силы N (силы нормального давления) равна P ∙ cos a; следовательно k = tg a. Коэффициент трения отсюда является тангенсом угла наклона поверхности, по которой тело скользит равномерно, т. е. с постоянной скоростью.
На практике его значение может быть вычислено лишь приблизительно. Поверхности тел, как правило, в той или иной степени загрязнены, имеют окислы, ржавчину и другие включения. Коэффициент трения, определяемый попарно для сочетаний различных материалов путем экспериментов, вносится в специальные справочные таблицы.
При возникает оттого, что движущееся колесо слегка вдавливается в дорожную поверхность, т. е. вынуждено преодолевать небольшой бугорок. Чем тверже дорога, тем меньше этот бугорок и меньше сила трения. Ее величина рассчитывается в данном случае формулой: F = k ∙ N / r, в которой r - величина радиуса колеса. Следовательно, коэффициент трения качения обладает размерностью протяженности. Обычно его выражают в сантиметрах в отличие от коэффициента трения скольжения, являющегося безразмерной величиной.
Как упоминалось выше, коэффициент внутреннего трения существует не только для твердых тел, но и для жидкостей. В гидравлике часто требуется рассчитать потери удельной энергии гидравлических систем, возникающие в трубопроводах. Они бывают двух по длине, возникающие в прямых трубах при равномерном течении, и местные потери, причина которых - деформация потока из-за изменения формы канала (сужение, расширение, повороты). Гидравлические потери рассчитывают с помощью аналогичной величины, которая называется «коэффициент гидравлического трения».
В кинематических парах реальных механизмов возникают силы трения; во многих случаях эти силы существенно влияют на движения механизма и должны учитываться в силовых расчетах.
Пусть S – поверхность соприкосновения элементов кинематической пары (рис.5.1). Выделим на этой поверхности элементарную площадку dS в окрестности некоторой точки A . Рассмотрим силы взаимодействия, возникающие на этой площадке и приложенные к одному из звеньев кинематической пары. Главный вектор этих сил разложим на составляющие: , направленную по нормали к поверхности S , и , лежащую в касательной плоскости. Главный момент относительно точки A также разложим на нормальную и касательную составляющие. Сила называется силойтрения скольжения ; момент – моментомтрения качения , а момент – моментомтрения верчения . По своей физической природе силы трения являются силами сопротивления движению; отсюда следует, что сила направлена противоположно вектору относительной скорости (скорости скольжения) в точке A , а векторы и – противоположны по направлению соответственно касательной и нормальной составляющим вектора относительной угловой скорости.
Многочисленные экспериментальные исследования показали, что при силовом анализе механизмов можно в большинстве случаев основываться на законе сухого трения, известным в физике под названием законаАмонтона – Кулона . В соответствии с этим законом модули силы трения dF и моментов dM К и dM В принимаются пропорциональными модулю нормальной составляющей реакции dN :
где f – безразмерный коэффициенттрения скольжения, а k и k В – коэффициентытрения качения и верчения, измеряемые в сантиметрах.
Из (5.1) и сделанных выше предположений о направлении сил и моментов вытекают следующие векторные соотношения:
Формулы (5.1) и (5.2) могут быть непосредственно использованы для определения сил трения в высшей кинематической паре с точечным контактом. В случае низших кинематический пар с контактом по линии главный вектор и главный момент сил трения определяется интегрированием сил и моментов, возникающих на элементарных площадках по поверхности или по линии соприкосновения. Так, например, суммарная сила трения в низшей кинематической паре может быть определена по формуле
где S – поверхность соприкосновения. Для того чтобы воспользоваться этой формулой, нужно знать закон распределения нормальных реакций по поверхности S .
Коэффициенты трения скольжения, верчения и качения определяются экспериментально; они зависят от многих факторов: от свойств материала, из которого изготовлены соприкасающиеся элементы кинематических пар, от чистоты обработки поверхностей, от наличия смазки и свойств смазочного материала, наконец, от величины относительной скорости и относительной угловой скорости звеньев. В механике машин значения этих коэффициентов предполагаются заданными и постоянными.
Формулы (5.1) и (5.2) становятся неприменимыми, если скорость скольжения в точке контакта и относительная угловая скорость равны нулю, то есть если звенья, образующие кинематическую пару, находятся в состоянии относительного покоя. В этом случае суммарные силы и моменты сил трения в кинематической паре могут быть определены из условий равновесия звеньев; они оказываются при этом зависящими не от нормальных реакций, а непосредственно от приложенных внешних сил.
Поясним сказанное примером. На рис.5.2, а изображена кинематическая пара, образованная цилиндром 1 и плоскостью 2 . Сила тяжести цилиндра G уравновешивается нормальной реакцией N , являющейся равнодействующей элементарных нормальных сил, возникающих в точках контакта, лежащих на образующей цилиндра. Приложив к оси цилиндра горизонтальную внешнюю силу P , мы обнаружим, что при достаточно малой величине этой силы цилиндр останется в состоянии покоя. Это означает, что сила P уравновешивается горизонтальной составляющей реакции F , а момент P ּr – моментом M К , вектор которого направлен по образующей цилиндра. Таким образом
F = P , M К = P ּ r . (5.4)
Сила F и момент M К могут возникнуть только за счет сил трения, величина которых, как это видно из формулы (5.4), определяется только величиной силы P и не зависят от N . Однако, увеличивая силу P , мы обнаружим, что при некотором ее значении состояние покоя будет нарушено. Если сила P достигнет такой величины, при которой нарушится условие
где k – коэффициент трения качения, то начнется качение цилиндра по плоскости без скольжения. Скольжение начинается при нарушении условия
где f n – коэффициенттрения покоя, обычно несколько превышающий величину коэффициента трения скольжения f . Если k /r <f n , то сначала (при увеличении P ) начнется качение, а скольжение произойдет при большем значении P ; при k /r > f n будет наблюдаться обратная картина.
Отметим попутно, что возникновение момента M K связано с деформацией цилиндра и плоскости в зоне контакта (см. рис.5.2, б ) и появлением несимметрии в распределении нормальных сил, которая вызывает смещение их равнодействующей N в направлении вектора силы P .
Введение сил трения приводит к увеличению числа неизвестных компонент реакций кинематической пары, а количество уравнений кинетостатики при этом не возрастает. Для того, чтобы задача силового анализа осталась разрешимой, необходимо ввести дополнительные условия, количество которых равно числу неизвестных. Проще всего такие условия вводятся для высшей кинематической пары первого класса (рис.5.3). Пусть поверхности элементов пары деформируются под действием нормальной силы и касаются в малой окрестности точки А , а относительное движение звеньев определяется заданием скорости скольжения и вектора относительной угловой скорости . Направим ось z по общей нормали к поверхностям в точке А , а ось х – по линии действия вектора . Тогда все компоненты реакции выражаются через величину нормальной силы N . Используя соотношения (5.1), находим
где – компонента вектора угловой скорости, лежащая в плоскости хАy , а w t х и w t y – ее проекции на оси х и y . Формулы (5.7) выражают пять компонент реакций через шестую компоненту.
Получение аналогичных соотношений для пар с меньшей подвижностью является сложной задачей, поскольку в общем случае закон распределения нормальных реакций по поверхности или по линии соприкосновения остается неизвестным. Обычно дополнительные условия выбираются с учетом конструктивных особенностей элементов кинематической пары, позволяющих делать некоторые априорные предположения о характере распределения нормальных реакций.
Название определяет сущность.
Японская пословица
Сила трения качения, как показывает многовековой человеческий опыт, примерно на порядок меньше силы трения скольжения. Несмотря на это идея подшипника качения сформулирована Вирло только в 1772 году.
Рассмотрим основные понятия трения качения. Когда колесо катится по неподвижному основанию и при повороте на угол его ось (точка 0) сме-щается на величину , то такое движение называется чистым качением без проскальзывания. Если колесо (Рис.51) нагружено силой N, то чтобы заставить его двигаться необходимо приложить вращающий момент. Это можно выполнить, приложив силу F к его центру. При этом момент силы F относительно точки О 1 будет равен моменту сопротивления качению.
Рис.51. Схема чистого качения
Если колесо (Рис.51) нагружено силой N, то чтобы заставить его двигаться необходимо приложить вращающий момент. Это можно выполнить, приложив силу F к его центру. При этом момент силы F относительно точки О 1 будет равен моменту сопротивления качению.
Коэффициент трения качения - это отношение движущего момента к нормальной нагрузке. Эта величина имеет размерность длины.
Безразмерная характеристика - коэффициент сопротивления качению равен отношению работы движущей силы F на единичном пути к нормальной нагрузке:
где: А - работа движущей силы;
Длина единичного пути;
М - момент движущей силы;
Угол поворота колеса, соответствующий пути.
Таким образом, выражение для коэффициента трения при качении и скольжении различны.
Следует отметить, что сцепляемость катящегося тела с дорожкой не должна превышать силы трения, иначе качение перейдёт в скольжение.
Рассмотрим движение шарика по дорожке подшипника качения (Рис. 52а). С дорожкой контактирует как наибольшая диаметральная окружность, так и меньшие окружности параллельных сечений. Путь, пройденный точкой на окружностях различного радиуса, различен, то есть имеет место проскаль-зывание.
При качении шарика или ролика по плоскости (или внутреннему цилиндру) касание происходит в точке или по линии только теоретически. В реальных узлах трения под действием рабочих нагрузок происходит деформа-ция контактной зоны. При этом шарик контактирует по некоторому кругу, а ролик - по прямоугольнику. В обоих случаях качение сопровождается возник-новением и разрушением фрикционных связей как и при трении скольжения.
Ролик, в связи с деформацией дорожки качения, проходит путь меньший, чем длина его окружности. Наглядно это заметно при качении жесткого стального цилиндра по плоской эластичной поверхности резины (Рис. 52б). Если нагрузка вызывает только упругие деформации e, то след качения восстанавливается. При пластических деформациях дорожка качения остаётся.
Рис.52. Качение: а - шарика по дорожке, б - цилиндра по упругому основанию
В связи с неравенством путей (по окружности ролика и по опорной поверхности) имеет место проскальзывание.
В настоящее время установлено, что снижение трения скольжения (от проскальзывания) путём повышения качества обработки контактных поверхностей или применения смазок почти не происходит. Отсюда следует, что сила трения качения обусловлена в большей степени не проскальзыванием, а рассеянием энергии при деформации. Так как деформация в основном упругая, то потери на трение качения - это результат упругого гистерезиса.
Упругий гистерезис заключается в зависимости деформации при одних и тех же нагрузках от последовательности (кратности) воздействий, то есть от предыстории нагружения. Часть энергии запасается в деформируемом теле и при превышении некоторого энергетического порога происходит отделение частицы износа - разрушение. Наибольшие потери имеют место при качении по вязкоупругому основанию (полимерам, резине), наименьшее - по высокомодульному металлу (стальные рельсы).
Эмпирическая формула для определения силы трения качения имеет вид:
где: D - диаметр тела качения.
Анализ формулы показывает, что сила трения увеличивается:
С ростом нормальной нагрузки;
С уменьшением размеров тела качения.
При увеличении скорости качения сила трения изменяется мало, но увеличивается износ. Увеличение скорости движения за счёт диаметра колеса уменьшает силу трения качения.
> Качение без скольжения
Рассмотрите движение без проскальзывания . Читайте про роль угловой и линейной скорости, как действуют поступательное и вращательное движения, формулы.
Качение без скольжения можно распределить на вращательное и поступательное движения.
Если с самого начала объект переворачивается без буксирования, то можно говорить о качении без проскальзывания. Чтобы разобраться, давайте рассмотрим пример с колесом на плоской горизонтальной поверхности.
Движение без проскальзывания понять намного проще, если выделить в нем движение центра масс с линейной скоростью v и вращательное движение вокруг центра с угловой скоростью w.
Движение качения отображает комбинацию вращательного и поступательного движений
Когда объект катится по плоскости без скольжения, точка контакта не смещается. Если представим, что колесо движется со скоростью v, то заметно, что оно должно также совершать движение вокруг своей оси с угловой скоростью ω.
Угловая скорость тела (ω) расположена прямо пропорционально скорости движения. Вы ведь могли заметить: чем быстрее разогналась машина, тем больше оборотов совершают колеса. Чтобы вычислить точную связь между линейной и угловой скоростями, можно взять случай, где колесо смещается на дистанцию х при повороте на углу θ.
Тело, скатывающееся на дистанцию х на плоскости, лишенной скольжения
В математике длина дуги приравнивается к углу сегмента, умноженному на радиус объекта (R). Отсюда выходит, что длина дуги колеса, повернутого на θ, достигает Rθ. Так как колесо постоянно контактирует с поверхностью, длина дуги также равна х. Выходит:
Не забывайте, что х и θ зависят от времени, поэтому возьмем их производные:
Здесь аналогичен v в линейной скорости, а – угловой скорости ω. Теперь можно все упростить:
| Количество вращательной кинематики | |||||
| Угловое ускорение | |||||
| Вращательная кинематика | |||||
| Динамика | |||||
| Вращательная кинетическая энергия | |||||
| Сохранение углового момента | |||||
| Векторная природа вращательной кинематики | |||||
| Решение проблем | |||||
| Линейные и вращательные величины | |||||
| Сохранение энергии | |||||
