Работа мощность сил приложенных к телу. Работа сил, приложенных к твердому телу. Работа сил в механизмах

нальности (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Отсюда видно, что коэффициент инерции объекта зави-

сит от выбора обобщенной координаты и может быть пересчитан.

КЭ нестационарной голономной одностепенной системы имеет струк-

туру квадратного полинома относительно обобщенной скорости q & , коэффи-

циенты которой в общем случае зависят от q и t :

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , при a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

Размерность коэффициентов a , a 0 ,a 1 определяем по принципу Л.Эйлера: все слагаемые в выражениях должны иметь одинаковую размерность.

5.3. Мощность силы

Область пространства, в которой к материальному объекту приложена сила, называется векторным силовым полем . Эта область может быть трехмерной (например-шаровой), либо двумерной, либо представлять отрезок прямой или кривой линии. Обычно считают, что сила зависит только от координат (x , y , z ) точки приложения силы, либо - от одной или двух координат, либо – постоянная по модулю и направлению. Допускаются также случаи, когда силы зависят и от скорости точки и от времени, т.е. сила задана в области пространства координат, скоростей, времени. Встречаются случаи, ко-

гда сила зависит от ускорения.

в мгновение t в системе отсчета Oxyz называется

Мощностью силы F

скаляр, равный скалярному произведению силы

на скорость точки прило-

жения силы v в этой системе:

м/c=Вт)

Fv cos(F ,v )

Zz, (Н

Согласно данному определению мощность силы есть положительный скаляр, если угол между силой и скоростью острый (в этом случае сила способствует движению, нарастанию кинетической энергии) и отрицательна, если угол тупой.(когда сила замедляет движение). Мощность силы равна нулю, если сила перпендикулярна к скорости точки приложения силы, или в случае, если точка приложения силы не имеет скорости.

Мощности в двух системах отсчета различны в случае, если системы движутся одна относительно другой, поэтому следует указывать систему отсчета, в которой вычисляется мощность сил.

Мощность сил трения, также как и других диссипативных сил, направленных против движения, отрицательна.

Мощность силы сцепления колеса с дорогой (если нет проскальзывания колеса) равна нулю, поскольку точка приложения силы не имеет скорости.

Рассмотрим случай, когда силы зависят только от положения точки при-

U (x , y , z ) - функция положения точки приложения силы, т.е. – функция декартовых (или обобщенных) координат. В этом случае силу F (x , y , z ) называют потенциальной , а “силовую функцию” U с обратным знаком, называют

потенциальной энергией : П (x , y , z ) = − U (x , y , z ) . Область пространства, в ко-

торой на тело действует потенциальная сила, называется потенциальным силовым полем . Под знаком производной можно добовлять любую константу, поэтому силовая функция и потенциальная энергия определяется с точностью до константы, определяющей уровень отсчета. В общем случае, потенциальную энергию можно определить как функцию П (q 1 ,..., q n ) , получаемую

путем преобразования мощности к виду: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , где q s – обобщен-

ные координаты.

Пусть тело произвольно движется в пространстве, т.е. оно перемещается вместе с полюсом O со скоростью v O и вращается с угловой скоростью ω .

Мощность пары сил, приложенной к твердому телу, не зависит от скорости полюса. Она равна скалярному произведению момента пары сил и угловой скорости.


P = M			M ω cos(M ,ω			) = M xω x + M yω y + M zω z ,

где M - момент пары сил, ω - угловая скорость твердого тела, которая, как известно, не зависит от выбора полюса. Мощность диссипативных пар сил отрицательна. Мощность пары сил не зависит от места приложения её к телу. Мощность пары сил трения в подшипнике отрицательная, поскольку момент трения и угловая скорость вращения противонаправлены.

Мощность системы сил, приложенных к твердому телу, равна скалярному произведению главного вектора R системы на скорость любого полюса тела, сложенному со скалярным произведением главного момента M 0 сил относительно этого полюса на угловую скорости тела:

v O + M

O ω

при R = ∑ F i , M O = ∑ r i × F i .

5.4. Работа и потенциальная энергия

Элементарной работой силы в выбранной системе координат Oxyz (неподвижной или подвижной) называется бесконечно малая величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки приложения силы в этой системе:


d ′ A = F		d r = Xdx + Ydy + Zdz = F \| d r \| cos(F ,d r ), (Н м=Дж)

Здесь через d ΄A обозначена бесконечно малая работа, совершаемая силой за бесконечно малый интервал времени, d r - элементарное перемещение, сонаправленное со скоростью точки. Штрихом отмечено, что d ΄A не всегда является полным дифференциалом от некоторой функции.

Очевидно, что произведение Pdt равно элементарной работе d ΄A :

Мощность, умноженная на малый интервал времени ∆t , есть приближенное значение работы ∆A силы за этот интервал, мощность приближенно равна работе силы за 1 сек. Работой силы за конечный интервал времени называется определенный интеграл от мощности по времени:



A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt при v = r & = dr / dt .
A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt при v = r & = dr / dt .

Для расчета работы по данной общей формуле необходимо знать мощность как функцию времени или силу и скорость в виде функций только времени t . Но в некоторых частных случаях (случай потенциальной силы, случай постоянной силы трения при неизменном направлении движения) возможно вычисление работы без применения кинематических уравнений движения точки приложения силы, достаточно знать только начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим движение точки приложения силы по отношению к двум системам отсчета, движущимся одна относительно другой. Скорость точки в двух системах различна, поэтому и мощность силы будет различной. Таким образом, понятия мощность, работа, формулируется по отношению к конкретной системе отсчета, преимущественно – по отношению к ИСО или ПСО (инерционной или поступательной системам отсчета).

Определение Сила F называется потенциальной , а ее силовое поле -

потенциальным силовым полем , если выполнены два условия:

1) Сила удовлетворяет одному из следующих условий: сила постоянна по величине и направлению F = const или зависит только от координат точки (всех трех или части) ее приложения, т.е. F = F (x , y , z ).

2) Элементарная работа d ′ A силы есть полный дифференциал от некоторой функции координат, либо мощность силы в любой момент времени равна полной производной по времени от некоторой функции Π (x , y , z )

Функция П(x ,y ,z ), получаемая посредством преобразования выражения элементарной работы, либо из выражения мощности, называется по-

тенциальной энергией потенциального силового поля в точке M(x, y, z).

Тем самым векторному силовому полю силы F (x , y , z ) сопоставляется

математически более простое поле скалярной функции трех переменных П(x , y , z ), либо - функции двух переменных П(x ,y ), либо - функции одной переменной П(x )

Потенциальная энергия может быть представлена не только в декартовой системе координат, но также - в цилиндрической, сферической системах координат, в общем она является функцией некоторых обобщенных коорди-

нат П(q 1 , q 2 , q 3 ).

Поверхности, определенные уравнением П(q 1 , q 2 , q 3 )=C, где C - произвольно назначаемый постоянный параметр, называются эквипотенциальными поверхностями .

Заметим, что под знаком дифференциала всегда можно прибавить или вычесть любую константу, так что функция П в формуле (5.18) определяется с точностью до константы. Константу произвольно назначают, например, полагают равной нулю, выбирая тем самым уровень отсчета семейства эквипотенциальных поверхностей.

Мощность потенциальной силы равна взятой со знаком минус произ-

водной по времени от потенциальной энергии P = −Π & . Подставим это выражение в определенный интеграл (5.17). Получим выражение работы потенциальной силы на конечном перемещении точки приложения силы, осуществленном за конечный промежуток времени:

A 12 = П(x 1 , y 1 , z 1 ) – П(x 2 , y 2 , z 2 ) = П1 – П2 .

Таким образом, работа потенциальной силы при ее перемещении за ин-

тервал из точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) в точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) по любой траектории равна убыли потенциальной энергии на этом перемещении, т.е. равна разно-

сти потенциальных энергий в первой и второй точках потенциального поля. Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории, соединяющей две точки. В частности, работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории равна нулю, а работа при переходе точки приложения силы с эквипотенциальной поверхности П=С1 на поверхность П=С2 равна разно-

сти констант: А12 =С1 -С2 .

Частный случай В качестве начальной точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) возьмем любую точку M (x , y , z ) потенциального поля, а в качестве M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) возьмем такую точку поля M (x O , y O , z O ), в которой потенциальная энергия принята равной

Получаем следующую физическую интерпретацию. Потенциальная энергия в любой точке M потенциального поля равна работе приложенной силы при перемещении ее точки приложения из положения M по любой гладкой или негладкой траектории в такое положение, в котором потенциальная энергия принята равной нулю, а также равна взятой со знаком минус работе силы на перемещении в положение M (x ,y ,z ) из “нулевого” положения, в котором потенциальная энергия принята равной нулю.

Пример 1 Найдем потенциальную энергию силы тяжести G = − Gk , про-

тивонаправленной с ортом k вертикальной оси Oz системы Oxyz . Методом элементарной работы получаем:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz ) => П = Gz .

Методом мощности получаем

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Таким образом, потенциальная энергия силы тяжести равна произведению веса материальной точки на высоту расположения точки M над плоскостью Oxy , удовлетворяющей условию z = 0. Здесь плоскость Oxy назначена

нулевой эквопотенциальной плоскостью. Потенциальная энергия силы тяжести отрицательна в точках, расположенных под плоскостью Oxy , при z < 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = П1 – П2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh при h = |z 1 –z 2 |.

Эта работа пропорциональна разности (убыли) уровней, она отрицательна, если первый уровень ниже, чем второй.

Замечание . В случае если ось Oz направлена вниз, получаем формулу с обратным знаком: П = –Gz .

Пример 2 . Потенциальная энергии силы упругости пружины. Силовое поле горизонтальной пружины имеет вид горизонтальной оси Ox . Начало оси совместим со свободным концом недеформированной пружины, x - деформация растяжения пружины при x > 0, или сжатия пружины при x < 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx
P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

Вообразим, что пружина очень медленно растягивается внешней силой,

медленно нарастающей от нуля до значения F вн = cxi . Считаем, что в каждый момент времени упругая сила пружины уравновешивает внешнию силу.

Среднее значение величины силы F вн на интервале равно: F cр = cx / 2 .

Упругая сила пружины, совершая при этом отрицательную работу по сопротивлению растягиванию, запасает в пружине положительную потенциальную

энергию, равную Π = F x = cx 2 / 2.

Работа упругой силы на деформации			X 2 − x 1 равна A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2.
Очевидно, что A 12 < 0 при x1 < x2 и A 12 > 0 при x1 > x2
	3 . Сила тяготения Земли		по закону "обратных квадратов":
F = γ m m / r2 ,		= − γ m m r / r 3 , где r - радиус-вектор материальной точки в

геоцентрической системе отсчета, γ = 6,672· 10–11 (м3 /(кг· с2 ) - постоянная тя-

готения, r / r = e - орт радиус-вектора тела (материальной точки), проведенного из центра Земли, m 1 = 6· 1024 (кг)- масса Земли, m - масса тела, γm 1 =

3986· 1011 (м3 /с2 ) - геоцентрическая гравитационная постоянная. Учитывая

тождества r r = r 2 ,

γ m1 m

d A = −

r dr = −

dr = d (−

Π(r ) = −

Отметим, что П(r )→0 при r →∞, следовательно, потенциальная энергия

на бесконечности принята равной нулю.

Вычисляя сумму элементарных работ двух внутренних сил F 1 J и F 2 J ,

получаем

F1 J dS1 cos(P1 J ,υ 1 ) + F2 J dS2 cos(P2 J ,υ 2 ) = F1 ′ M1 M1 ′ − F1 M 2 M 2 ′

т.к. каждой внутренней силе соответствует другая, равная ей по модулю и противоположная по направлению, то сумма элементарных работ всех внутренних сил тоже равна нулю.

δ A J = ∑ δ A i J = 0

Конечное перемещение является совокупностью элементарных переме-

щений, поэтому AJ = 0, т.е. сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

2.5.2. Работа внешних сил, приложенных к поступательно движущемуся телу

К каждой точке тела приложены внешние и внутренние силы (рис. 18). Так как работа внутренних сил на любом перемещении равна нулю, то следует вычислить работу лишь внешних сил F 1 E , F 2 E … F n E . При поступательном

движении траектории всех точек идентичны, а вектора элементарных перемещений геометрически равны, т.е.

dri = dr = drc .

Элементарная работа силы F i E

δ A iE = F i E dr c .

Элементарная работа всех внешних сил

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ F i E drc = drc ∑ Fi E = R E dr c ,

где R E - главный вектор внешних сил.

Работа на конечном перемещении

AE = ∫ R E drc .

Работа сил при поступательном перемещении твердого тела равна работе главного вектора внешних сил на элементарном перемещении центра масс.

2.5.3. Работа внешних сил, приложенных к вращающемуся телу

Предположим, что к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z , приложены внешние силы F 1 E , F 2 E … F i E … F n E (рис. 19).

Вычислим работу одной силы F i E , приложенной к точке M i , описывающей окружность радиуса R i . Разложим силу F i E на три составляющие, направленные по естественным осям траектории точки M i .

E F 1


F ib


F in

Mi dSi

F iτ

Z M1 (x1 ,y1, z1 )

M2 (x2 ,y2 , z2 )

При элементарном повороте тела на угол d ϕ точка M i описывает дугу dS i = R i d ϕ . На этом перемещении работу составляет только касательная составляющая силы, а работа перпендикулярных к вектору скорости составляющих силы F in E и F ib E равна нулю.

δ A i E = F i τ E dS i = F i τ E R i d ϕ = M i E τ d ϕ = M iz E d ϕ , т.к. моменты нормальной и бинормальной составляющих силы F i E относительно оси Z равны нулю эле-

ментарная работа всех сил, приложенных к твердому телу

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ M iz E dϕ = dϕ ∑ Miz E = M z E dϕ .

Таким образом, элементарная работа внешних сил, приложенных к вращающемуся твердому телу равна

δ AE = M z E dϕ .

При конечном повороте тела работа внешних сила равна

AE = ∫ M z E dϕ .

Если главный момент внешних сил M z E = const , то работа внешних сил на конечном перемещении равна A = M z E (ϕ 2 − ϕ 1 ) .

Работа при вращательном движении твердого тела равна работе главного момента внешних сил относительно оси вращения на элементарном угловом перемещении.

2.6. Работа силы тяжести

Пусть точка массой m перемещается под действием силы тяжести из положения M 1 (x 1 , y 1 ,z 1 ) в положение M 2 (x 2 , y 2 ,z 2 ) (рис. 20).

Элементарная работа силы вычисляется как скалярное произведение вектора силы F (X ,Y ,Z ) на вектор элементарного перемещения dr (dx,dy,dz )

δ A = F dr = Xdx + Ydy + Zdz ,

где X ,Y ,Z - проекции силы F ,

dx,dy,dz - проекции вектора перемещения dr на оси x, y,z . При движении под действием силы тяжести

А= ± mgh .

Если точка опускается (независимо от вида траектории), т.е. z 2 < z 1 , работа силы тяжести положительна, если точка поднимается, работа силы тя-

жести отрицательна. Если точка перемещается горизонтально (z 2 = z 1 ) , работа силы тяжести равна 0.

3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под дей-

ствием сил

F 2 … F n (рис. 21) со скоростью υ

Модуль которой равен

υ = dS , где S - дуговая координата.

Проекция ускорения на касательную равна a τ =

Учитывая, что скорость υ

Сложная функция времени, т.е. υ = f (S (t )) ,

a τ = d υ

D υ

= υ d υ .

Основное уравнение динамики в проекции на касательную имеет вид

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F i τ .

Умножим обе части уравнения на dS и проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих начальному и конечному положениям

точки M 1

и M 2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS , откуда

mυ 2

= ∑ A i .

mυ 2

Половина произведения массы материальной точки на квадрат скорости

называется кинетической энергией точки.

mυ 2 2

− кинетическая энергия точки после перемещения,

− кинетическая энергия точки до перемещения,

mυ 2

V i 2

Работа сил вычисляется по формулам, полученным в § 87 и 88. Рассмотрим дополнительно следующие случаи.

1. Работа сил тяжести, действующих на систему. Работа силы тяжести, действующей на частицу весом будет равна где - координаты, определяющие начальное и конечное положения частицы (см. § 88). Тогда, учтя, что (см. § 32), найдем для суммы работ всех сил тяжести, действующих на систему, значение

Этот результат можно еще представить в виде

где Р - вес системы, - вертикальное перемещение центра масс (или центра тяжести). Следовательно, работа сил тяжести, действующих на систему, вычисляется как работа их главного вектора (в случае твердого тела равнодействующей) Р на перемещении центра масс системы (или центра тяжести тела).

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу. Элементарная работа приложенной к телу силы F (рис. 307) будет равна (см. § 87)

так как , где - элементарный угол поворота тела.

Но, как легко видеть,

Будем называть величину вращающим моментом. Тогда получим

Следовательно, в рассматриваемом случае элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота. Формула (46) справедлива и при действии нескольких сил, если считать

При повороте на конечный угол работа

а в случае постоянного момента

Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси Oz, то в формулах (46)-(47) будет, очевидно, означать момент этой пары.

Укажем еще, как в данном случае определяется мощность (см. § 87). Пользуясь равенством (46), находим

Следовательно, при действии сил на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем больше, чем меньше угловая скорость.

3. Работа сил трения, действующих на катящееся тело. На колесо радиусом R (рис. 308), катящееся по некоторой плоскости (поверхности) без скольжения, действует приложенная в точке В сила трения , препятствующая скольжению точки вдоль плоскости. Элементарная работа этой силы . Но точка В в данном случае совпадает с мгновенным центром скоростей (см. § 56) и

Так как то и для каждого элементарного перемещения .

Следовательно, при качении без скольжения работа силы трения, препятствующей скольжению, на любом перемещении тела равна нулю. По той же причине в этом случае равна нулю и работа нормальной реакции N, если считать тела недеформируемыми в силу N приложенной в точке В (как на рис. 308, а).

Теорема: работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения .

Пусть материальная точка М движется под действием силы тяжести G и за какой-то промежуток времени перемещается из положения М 1 в положение М 2 , пройдя путь s (рис. 4) .
На траектории точки М выделим бесконечно малый участокds , который можно считать прямолинейным, и из его концов проведем прямые, параллельные осям координат, одна из которых вертикальна, а другая горизонтальна.
Из заштрихованного треугольника получим, что

dy = ds cos α .

Элементарная работа силы G на пути ds равна:

dW = F ds cos α .

Полная работа силы тяжести G на пути s равна

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh .

Итак, работа силы тяжести равна произведению силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

Теорема доказана.

Пример решения задачи по определению работы силы тяжести

Задача: Однородный прямоугольный массив АВСD массой m = 4080 кг имеет размеры, указанные на рис. 5 .
Определить работу, которую необходимо выполнить для опрокидывания массива вокруг ребра D .

Решение.
Очевидно, что искомая работа будет равна работе сопротивления, совершаемой силой тяжести массива, при этом вертикальное перемещение центра тяжести массива при опрокидывании через ребро D является путем, который определяет величину работы силы тяжести.

Для начала определим силу тяжести массива: G = mg = 4080×9,81 = 40 000 Н = 40 кН .

Для определения вертикального перемещения h центра тяжести прямоугольного однородного массива (он находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника), используем теорему Пифагора, исходя из которой:

КО 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 м .

На основании теоремы о работе силы тяжести определим искомую работу, необходимую для опрокидывания массива:

W = G×КО 1 = 40 000×1 = 40 000 Дж = 40 кДж.

Задача решена.

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ силаF совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании теоремы Вариньона момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность

Работа, совершаемая какой-либо силой, может быть за различные промежутки времени, т. е. с разной скоростью. Чтобы охарактеризовать, насколько быстро совершается работа, в механике существует понятиемощности , которую обычно обозначают буквой P .

Практическая работа на тему: «Работа и мощность при вращательном движении»

Цель работы: закрепить изучение материал по теме, научиться решать задачи.

Ход работы:

Изучить материал по теме.

Записать краткую теорию.

Решить задачи.

Оформить работу.

Ответить на контрольные вопросы.

Написать вывод.

Краткая теория:

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Пример решения задачи

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость .

Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле:

P = W/t = Tφ/t или P = Tω .

Вариант №1

На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасается между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α= 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.

Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновенную мощность на высоте h/2.

Вариант №2

Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с2. Найти среднюю мощность N , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м 2 .

Тело массы m вращается на горизонтальной поверхности по окружности радиуса r=100мм. Найти работу силы трения при повороте тела на угол α=30. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k=0,2.

Первый шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью, величина которой v1 = 3 м/с. Второй шар массой m2 = 8 кг движется со скоростью, величина которой v2 = 1 м/с. Найти скорость v 1 первого шара и скорость v 2 второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим.