Пружинный маятник - это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 1, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами.
К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия.
Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили . Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна.
Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
По закону Гука F x = -kx. По второму закону Ньютона F x = ma x . Следовательно, ma x = -kx. Отсюда
Динамическое уравнение движения пружинного маятника.
Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний 
, видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Период колебаний пружинного маятника.
По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 1. б). Действительно, в положении равновесия благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x 0 , определяемую соотношением mg = kx 0 . При смещении маятника из положения равновесия O на х проекция силы упругости
10.4. Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях
10.4.1. Сохранение энергии при механических гармонических колебаниях
Сохранение энергии при колебаниях математического маятника
При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется (остается постоянной).
Полная механическая энергия математического маятника
E = W k + W p ,
где W k - кинетическая энергия, W k = = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия, W p = mgh ; m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль скорости груза; h - высота подъема груза над положением равновесия (рис. 10.15).
При гармонических колебаниях математический маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию математического маятника в трех положениях (см. рис. 10.15):
Рис. 10.15
1) в положении равновесия
потенциальная энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:
E = W k max ;
2) в крайнем положении (2 ) тело поднято над исходным уровнем на максимальную высоту h max , поэтому потенциальная энергия также максимальна:
W p max = m g h max ;
кинетическая энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:
E = W p max ;
3) в промежуточном положении (3 ) тело обладает мгновенной скоростью v и поднято над исходным уровнем на некоторую высоту h , поэтому полная энергия представляет собой сумму
E = m v 2 2 + m g h ,
где mv 2 /2 - кинетическая энергия; mgh - потенциальная энергия; m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль скорости груза; h - высота подъема груза над положением равновесия.
При гармонических колебаниях математического маятника полная механическая энергия сохраняется:
E = const.
Значения полной энергии математического маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.1.
| № | Положение | W p | W k | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Равновесие | 0 | m v max 2 / 2 | m v max 2 / 2 |
| 2 | Крайнее | mgh max | 0 | mgh max |
| 3 | Промежуточное (мгновенное) | mgh | mv 2 /2 | mv 2 /2 + mgh |
Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце табл. 10.1, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением :
m v max 2 2 = m g h max ;
m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;
m g h max = m v 2 2 + m g h ,
где m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; h - высота подъема груза над положением равновесия в положении 3 ; v max - модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; h max - максимальная высота подъема груза над положением равновесия в положении 2 .
Угол отклонения нити математического маятника от вертикали (рис. 10.15) определяется выражением
cos α = l − h l = 1 − h l ,
где l - длина нити; h - высота подъема груза над положением равновесия.
Максимальный угол отклонения α max определяется максимальной высотой подъема груза над положением равновесия h max:
cos α max = 1 − h max l .
Пример 11. Период малых колебаний математического маятника равен 0,9 с. На какой максимальный угол от вертикали будет отклоняться нить, если, проходя положение равновесия, шарик движется со скоростью, равной 1,5 м/с? Трение в системе отсутствует.
Решение . На рисунке показаны два положения математического маятника:
Искомый угол определяется равенством
cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,
где l - длина нити маятника.
Максимальную высоту подъема шарика маятника над положением равновесия найдем из закона сохранения полной механической энергии.
Полная энергия маятника в положении равновесия и в крайнем положении определяется следующими формулами:
E 1 = m v max 2 2 ,
где m - масса шарика маятника; v max - модуль скорости шарика в положении равновесия (максимальная скорость), v max = 1,5 м/с;
E 2 = mgh max ,
где g - модуль ускорения свободного падения; h max - максимальная высота подъема шарика над положением равновесия.
Закон сохранения полной механической энергии:
m v max 2 2 = m g h max .
Выразим отсюда максимальную высоту подъема шарика над положением равновесия:
h max = v max 2 2 g .
Длину нити определим из формулы для периода колебаний математического маятника
T = 2 π l g ,
т.е. длина нити
l = T 2 g 4 π 2 .
Подставим h max и l в выражение для косинуса искомого угла:
cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2
и произведем вычисление с учетом приблизительного равенства π 2 = 10:
cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .
Отсюда следует, что максимальный угол отклонения составляет 60°.
Строго говоря, при угле 60° колебания шарика не являются малыми и пользоваться стандартной формулой для периода колебаний математического маятника неправомерно.
Сохранение энергии при колебаниях пружинного маятника
Полная механическая энергия пружинного маятника складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии:
E = W k + W p ,
где W k - кинетическая энергия, W k = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия, W p = k (Δx ) 2 /2; m - масса груза; v - модуль скорости груза; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины (рис. 10.16).
В Международной системе единиц энергия механической колебательной системы измеряется в джоулях (1 Дж).
При гармонических колебаниях пружинный маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию пружинного маятника в трех положениях (см. рис. 10.16):
1) в положении равновесия (1 ) скорость тела имеет максимальное значение v max , поэтому кинетическая энергия также максимальна:
W k max = m v max 2 2 ;
потенциальная энергия пружины равна нулю, так как пружина не деформирована; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:
E = W k max ;
2) в крайнем положении (2 ) пружина имеет максимальную деформацию (Δx max), поэтому потенциальная энергия также имеет максимальное значение:
W p max = k (Δ x max) 2 2 ;
кинетическая энергия тела равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:
E = W p max ;
3) в промежуточном положении (3 ) тело обладает мгновенной скоростью v , пружина имеет в этот момент некоторую деформацию (Δx ), поэтому полная энергия представляет собой сумму
E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
где mv 2 /2 - кинетическая энергия; k (Δx ) 2 /2 - потенциальная энергия; m - масса груза; v - модуль скорости груза; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины.
При смещении груза пружинного маятника от положения равновесия на него действует возвращающая сила , проекция которой на направление движения маятника определяется формулой
F x = −kx ,
где x - смещение груза пружинного маятника от положения равновесия, x = ∆x , ∆x - деформация пружины; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины маятника.
При гармонических колебаниях пружинного маятника полная механическая энергия сохраняется:
E = const.
Значения полной энергии пружинного маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.2.
| № | Положение | W p | W k | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Равновесие | 0 | m v max 2 / 2 | m v max 2 / 2 |
| 2 | Крайнее | k (Δx max) 2 /2 | 0 | k (Δx max) 2 /2 |
| 3 | Промежуточное (мгновенное) | k (Δx ) 2 /2 | mv 2 /2 | mv 2 /2 + k (Δx ) 2 /2 |
Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце таблицы, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением закона сохранения полной механической энергии :
m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;
m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;
k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
где m - масса груза; v - модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 3 ; v max - модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; Δx max - максимальная деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 2 .
Пример 12. Пружинный маятник совершает гармонические колебания. Во сколько раз его кинетическая энергия больше потенциальной в тот момент, когда смещение тела из положения равновесия составляет четверть амплитуды?
Решение . Сравним два положения пружинного маятника:
Полная энергия маятника в крайнем и промежуточном положениях определяется следующими формулами:
E 1 = k (Δ x max) 2 2 ,
где k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆x max - амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия), ∆x max = A ;
E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 ,
где m - масса груза маятника; ∆x - смещение груза от положения равновесия, ∆x = A /4.
Закон сохранения полной механической энергии для пружинного маятника имеет следующий вид:
k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .
Разделим обе части записанного равенства на k (∆x ) 2 /2:
(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,
где W k - кинетическая энергия маятника в промежуточном положении, W k = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия маятника в промежуточном положении, W p = k (∆x ) 2 /2.
Выразим из уравнения искомое отношение энергий:
W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1
и рассчитаем его значение:
W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .
В указанный момент времени отношение кинетической и потенциальной энергий маятника равно 15.
Пружинный
маятник представляет собой материальную
точку массой
,
прикрепленную к абсолютно упругой
невесомой пружине с жесткостью
.
Различают два наиболее простых случая:
горизонтальный (рис.15,а
) и
вертикальный (рис.15, б
)
маятники.
а)
Горизонтальный
маятник
(рис.
15,а). При смещении груза
из
положения равновесия
на величину
на него действует в горизонтальном
направлениивозвращающая
упругая сила
(закон
Гука).
Предполагается,
что горизонтальная опора, по которой
скользит груз
при своих колебаниях, абсолютно гладкая
(трения нет).
б) Вертикальный маятник (рис.15, б ). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:
где
- величина упругой силы, действующей на
груз
при статическом растяжении пружины на
под действием силы тяжести груза
.
|
а |
|
Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный
Если
растянуть пружину и отпустить груз, то
он начнет совершать вертикальные
колебания. Если смещение в какой-то
момент времени будет
,
то сила упругости запишется теперь как
.
В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом
(27)
и циклической частотой
.
(28)
На
примере рассмотрения пружинного маятника
можно сделать вывод о том, что гармонические
колебания – это движение, вызванное
силой, возрастающей пропорционально
смещению
.
Таким образом, если
возвращающая сила по виду напоминает
закон Гука
(она
получила название
квазиупругой
силы
),
то система должна совершать гармонические
колебания.
В момент прохождения положения равновесия
на тело не действует возвращающая сила,
однако, тело по инерции проскакивает
положение равновесия и возвращающая
сила меняет направление на противоположное.
Рис.16.
Математический маятник
,
которая совершает малые колебания под
действием силы тяжести (рис. 16).
Колебания
такого маятника при малых углах отклонения
(не превышающих 5º) можно считать
гармоническими, и циклическая частота
математического маятника:
,
(29)
а период:
.
(30)
Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.
Пусть
пружинный маятник совершает гармонические
колебания с начальной фазой
,
т.е.
(рис.17).
Рис.17. Закон сохранения механической энергии
при колебаниях пружинного маятника
При
максимальном отклонении груза от
положения равновесия полная механическая
энергия маятника (энергия деформированной
пружины с жесткостью
)
равна
.
При прохождении положения равновесия
(
)
потенциальная энергия пружины станет
равной нулю, и полная механическая
энергия колебательной системы определится
как
.
На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).
Рис.18. Графики временной зависимости кинетической
и потенциальной энергии при гармонических колебаниях
Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.
Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние х, то удлинение пружины станет равным Δl 0 + х. Тогда результирующая сила примет значение:
Учитывая условие равновесия (1.7.1), получим:
Знак "минус" показывает, что смещение и сила имеют противоположные направления.
Упругая сила f обладает следующими свойствами:
Для того, чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против упругой силы работу:
Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы:
Под действием упругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью . Поэтому потенциальная энергия системы будет убывать, зато возрастает кинетическая энергия (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик будет продолжать двигаться по инерции. Это - замедленное движение и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, шарик будет колебаться неограниченно долго.
Уравнение второго закона Ньютона в этом случае имеет вид:
Преобразуем уравнение так:
Вводя обозначение , получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Прямой подстановкой легко убедиться, что общее решение уравнения (1.7.8) имеет вид:
где а - амплитуда и φ - начальная фаза колебания - постоянные величины. Следовательно, колебание пружинного маятника является гармоническим (Рис. 1.7.2).
Рис. 1.7.2. Гармоническое колебание
Вследствие периодичности косинуса различные состояния колебательной системы повторяются через определенный промежуток времени (период колебаний) Т, за который фаза колебания получает приращение 2π. Рассчитать период можно с помощью равенства:
откуда следует:
Число колебаний в единицу времени называется частотой:
За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Такую единицу называют 1 Гц.
Из (1.7.11) следует, что:
Следовательно, ω 0 - это число колебаний, совершаемое за 2π секунд. Величину ω 0 называют круговой или циклической частотой. Используя (1.7.12) и (1.7.13), запишем:
Дифференцируя () по времени, получим выражение для скорости шарика:
Из (1.7.15) следует, что скорость также изменяется по гармоническому закону и опережает смещение по фазе на ½π. Дифференцируя (1.7.15), получим ускорение:
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из нерастяжимой невесомой нити, на которой подвешено тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке.
Отклонение маятника от положения равновесия характеризуют углом φ, образованным нитью с вертикалью (Рис. 1.7.3).
Рис. 1.7.3. Математический маятник
При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:
Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен ml 2:
Это уравнение можно привести к виду:
Ограничиваясь случаем малых колебаний sinφ ≈ φ и вводя обозначение:
уравнение (1.7.19) может быть представлено так:
что совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Следовательно, его решением будет гармоническое колебание:
Из (1.7.20) следует, что циклическая частота колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения. Используя формулу для периода колебаний () и (1.7.20), получим известное соотношение:
Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса О на одной с ней вертикали (Рис. 1.7.4).
Рис. 1.7.4. Физический маятник
При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:
где m - масса маятника, l - расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника.
Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен I:
Для малых колебаний sinφ ≈ φ. Тогда, вводя обозначение:
что также совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Из уравнений (1.7.27) и (1.7.26) следует, что при малых отклонениях физического маятника от положения равновесия он совершает гармоническое колебание, частота которого зависит от массы маятника, момента инерции и расстояния между осью вращения и центром инерции. С помощью (1.7.26) можно вычислить период колебаний:
Сравнивая формулы (1.7.28) и () получим, что математический маятник с длиной:
будет иметь такой же период колебаний, что и рассмотренный физический маятник. Величину (1.7.29) называют приведенной длиной физического маятника. Следовательно, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.
Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. По теореме Штайнера момент инерции физического маятника равен:
где I 0 - момент инерции относительно центра инерции. Подставляя (1.7.30) в (1.7.29), получим:
Следовательно, приведенная длина всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром инерции маятника, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.
При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Е к и потенциальной энергии Е п, обусловленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий слагается полная энергия Е колебательной системы:
Распишем последнее выражение
Но к = mω 2 , поэтому получим выражение для полной энергии колеблющегося тела
Таким образом полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.
При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим .
Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:
где r - коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Подставим (1.7.34б) в (1.7.34а):
График этой функции показан на рис.1.7.5 сплошной кривой 1, а штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:
При очень малом трении период затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания (1.7.35.б)
Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания : чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания , понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:
;
Следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:
При сильном затухании из формулы (1.7.37) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим . График апериодического движения в виде показан на рис. 1.7.6. Незатухающие и затухающие колебания называют собственными или свободными . Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Вынужденными колебаниями называются такие, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.
Предположим, что на материальную точку кроме квазиупругой силы и силы трения действует внешняя вынуждающая сила
,
где F 0 - амплитуда; ω - круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона):
,
Амплитуда вынужденного колебания (1.7.39) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебания. Если ω 0 и β для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной .
Само явление - достижение максимальной амплитуды для заданных ω 0 и β - называют резонансом.
 |
| Рис. 1.7.7. Резонанс |
При отсутствии сопротивления амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из ω рез =ω 0 , т.е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 5.
Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможные возникновения резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.
Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы не велик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека.
Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.
Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями , а сами системы - автоколебательными.
Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств в самой автоколебательной системе, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.
Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами (рис.1.7.8): 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи (рис. 6) воздействует на регулятор, информирую регулятор о состоянии этой системы.
Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря - источником энергии, а анкер - регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.
Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы - генераторы автоколебательных колебаний.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:
x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).
Гармоническое колебание можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Если этот вектор вращается с угловой скоростью ω 0 , то его проекция на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону. Исходя из этого, выберем некоторую ось Х и представим колебания с помощью векторов а 1 и а 2 (рис.1.7.9).
Из рис.1.7.6 следует, что
.
Схемы, в которых колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости, называются векторными диаграммами.
Из формулы 1.7.40 следует. Что если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если разность фаз складываемых колебаний равна , то амплитуда результирующего колебания равна . Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то векторы, соответствующие этим колебаниям будут вращаться с разной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, в результате сложения получается не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления мало отличающихся по частоте. Пусть частота одного из них равна ω , а второго ω+∆ω, причем ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:
x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.
Сложив эти выражения и используя формулу для суммы косинусов, получаем:
Колебания (1.7.41) можно рассматривать как гармоническое колебание частотой ω, амплитуда которого изменяется по закону . Эта функция является периодической с частотой в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω. Таким образом, частота пульсаций амплитуды, называемая частотой биений, равна разности частот складываемых колебаний.
Если материальная точка совершает колебания как вдоль оси х, так и вдоль оси у, то она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории. Пусть частота колебаний одинакова и начальная фаза первого колебания равна нулю, тогда уравнения колебаний запишем в виде:
Уравнение (1.7.43) представляет собой уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд а и b и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи:
(m=0, ±1, ±2, …). В этом случае уравнение имеет видЭто уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны амплитудам (рис. 1.7.12). Если амплитуды равны, то эллипс становится окружностью.
 |
| Рис.1.7.12 |
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину ∆ω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В этом случае уравнения колебаний можно записать
x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]
и выражение ∆ωt+α рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону. Результирующее движение в этом случае происходит по медленно изменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -π до+π.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Пусть, например, частоты складываемых колебаний относятся как 1: 2 и разность фаз π/2. Тогда уравнения колебаний имеют вид
x=a cos ωt, y=b cos.
За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться. Вид кривой показан на рис. 1.7.13. Кривая при таком же соотношении частот, но разности фаз равной нулю показана на рис.1.7.14. Отношение частот складываемых колебаний обратно отношению числа точек пересечения фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. Следовательно, по виду фигур Лиссажу можно определить соотношение частот складываемых колебаний или неизвестную частоту. Если одна из частот известна.
 |
| Рис.1.7.13 |
 |
| Рис.1.7.14 |
Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее получающиеся фигуры Лиссажу.
Если в каком-либо месте упругой (твёрдой жидкой или газообразной) среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью υ. процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.
В зависимости от направлений колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волн. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновения только продольных волн. В твёрдой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.
На рис. 1.7.12 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2 и т. д. обозначены частицы отстающие друг от друга на расстояние, равное (¼ υT), т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент, времени принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения равновесия частица 2. По пришествие ещё четверти периода первая часть будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнёт смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени равный T, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как чальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь (υT), достигнет частицы 5.
На Рис. 1.7.13 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево.
Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разряжения частиц (места сгущения обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью υ.
 |
| Рис. 1.7.15 |
 |
| Рис. 1.7.16 |
На рис. 1.7.15 и 1.7.16 показаны колебания частиц, положения, равновесия которых лежат на оси x. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси x, а совокупность частиц, заключённых в некотором объёме. Распространяясь от источников колебаний, волновой процесс охватывает всё новые и новые части пространства, геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания ещё не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются не подвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одной фазе). Волновойфронт всё время перемещается.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне - множество концентрических сфер.
 |
| Рис. 1.7.17 |
Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x . Тогда все точки сферы, положения, равновесия которых имеет одинаковую координату x (но различие значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.
На Рис. 1.7.17 изображена кривая, которая даёт смещение ξ из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функций ξ (x, t) для некоторого фиксированного момента времени t. Такой график можно строить как для продольной так и для поперечной волны.
Расстояние λ, на короткое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны . Очевидно, что
где υ - скорость волны, T- период колебаний. Длину волныможноопределить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (см. рис. 1.7.14)
Заменив в соотношении(1.7.45) T через 1/ν (ν - частота колебаний), получим
К этой формуле можно придти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает ν колебаний, порождая в среде при каждом колебании один "гребень" и одну "впадину" волны. К тому моменту, когда источник будет завершать ν - е колебание, первый "гребень" успеет пройти путь υ. Следовательно, ν "гребней" и "впадин" волны должны уложиться в длине υ.
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t :
ξ = ξ (x, y, z; t)
(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической относительно времени t , и относительно координат x, y, z. . Периодичность по времени вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ , колеблются одинаковым образом.
Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от x и t :
ξ = ξ (x, t) .
 |
| Рис.1.7.18 |
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0 (рис. 1.7.18), имеют вид
Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Для того, чтобы пройти путь от плоскости x =0 до этой плоскости, волне требуется время(υ - cкорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0 , т.е. будут иметь вид
Итак, уравнение плоской волны (продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси x , выглядит следующим образом:
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом x , в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (1.7.48), получим
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x :
При выводе формулы (1.7.53) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от x . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается - наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:
Соответственно уравнение плоской волны, с учетом затухания , имеет следующий вид:
| (1.7.54) |
(a 0 - амплитуда в точках плоскости x = 0).
Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.
Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:
В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:
Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.
Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.
Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:
Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:
При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.
Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:
Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:
В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.
При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.
Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.
Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:
Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.
Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.
Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.
Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x 2 +v 2 /w 2 . Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.
Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.
Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.
Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:
Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Применяемая формула говорит о следующем:
Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.
Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:
Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.
