Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей Презентация на тему числовая последовательность

Числовые последовательности

Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. О бозначают y=f(n) или y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n , … Определение числовой последовательности

Рассмотрим функцию График состоит из отдельных точек. …

Получим последовательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, … Последовательность квадратов натуральных чисел – I член последовательности – I I член последовательности – III член последовательности – n - ый член последовательности

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Последовательность задана аналитически, если указана формула е е n - го члена Пример 1: y n =n 2 последовательность 1,4,9,16,…, n 2 ,…

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 2: Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 3: Задать последовательность формулой n -го члена: а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Способы задания последовательности Словесное задание числовой последовательности. Правило составления последовательности описывается словами Пример: последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … последовательность кубов натуральных чисел 1, 8, 27, 64, 125, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Указывается правило позволяющее вычислить n- й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным (от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 1: y 1 = 3 , y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4, … Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4 y 1 = 3 y 2 = y 1 + 4 = 3 + 4 = 7 y 3 = y 2 + 4 = 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4 = 11 + 4 = 1 5 и т.д. Получаем последовательность 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 2: y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1 Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2 y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т.д. Получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности: 1) Арифметическая прогрессия у 1 = а, у n = у n-1 + d , а и d – числа, n = 2, 3, … 2) Геометрическая прогрессия у 1 = b , у n = у n-1 · q , b и q – числа, n = 2, 3, …

Монотонные последовательности Последовательность (у n) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у 1 1 , то последовательность у n = а n – возрастает. Последовательность (у n) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 > у 2 > у 3 > у 4 > … > у n > … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0

Монотонные последовательности Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. П оследовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными.

В классе № 15.3, 15.7, 15.8, 15.10 Домашнее задание № 15.4, 15.6, 15.9, 15.11

Презентация «Числовые последовательности» представляет учебный материал, обеспечивающий наглядность объяснения учителя на уроке по данной теме. С помощью презентации учитель более эффективно может решить задачи обучения. Презентация демонстрирует теоретический материал по теме «Числовые последовательности», формирует понятие о числовых последовательностях, их видах, связанных с ними формулах.

Представление учебного материала в форме презентации имеет множество преимуществ, которые дают возможность улучшить запоминание материала учениками, углубить понимание определений и понятий. Используемые в презентации анимационные эффекты помогают удерживать внимание учеников на изучаемом предмете. Также анимация улучшает подачу информации, структурирует ее, способствует лучшему пониманию. Запоминание определений и понятий улучшает их выделение при помощи цвета и других приемов.

Презентация начинается с определения числовой последовательности. Она определяется как функция вида y=f(x), xϵN, иначе называемая функцией натурального аргумента. На экране отображаются варианты обозначения последовательности y=f(n) или y 1 , y 2 ,…, y n , или (y n).

На втором слайде представлены варианты, каким способом задается числовая последовательность. В качестве примера словесного способа задания дается последовательность 2, 3, 5,…, 29,… Также описываются варианты аналитического способа задания последовательности. В качестве примеров продемонстрированы y n =n 3 . Отмечается, что сама последовательность при этом являет собой последовательность чисел 1, 8, 27, 64, …, n 3, … Аналитическое представление последовательности позволяет найти любой член последовательности. К примеру, для n=9 у 9 =9 3 =729. Также при известном члене последовательности можно определить его порядковый номер - для y n =1331 можно определить, что n 3 =1331, то есть его номер n=11. Представлен еще один пример аналитического задания последовательности y n =С. Очевидно, в данной последовательности все ее члены равны С.

Ученикам уже известны примеры числовых последовательностей, которые были изучены ранее - арифметическая и геометрические прогрессии. Для задания таких последовательностей применялся рекуррентный способ задания. Напоминается, что арифметическая прогрессия задается соотношением а 1 =а, а n+1 =a n +d, в которых aи d - некоторые числа, а d - разность прогрессии. Также напоминается рекуррентное задание геометрической прогрессии, в которой b 1 =b, b n+1 =b n q, где bи q - некоторые числа, не равные нулю, а q - знаменатель прогрессии.

На слайде 4 дается определение последовательности, что ограничена сверху. Для такой последовательности характерно, что все члены последовательности не превышают определенного числа.

Следующий слайд дает общее представление о последовательности, ограниченной сверху через выполнение неравенства y n <=M, где число М, ограничивающее последовательность иначе называется верхней границей последовательности. Определение выделено цветом для запоминания понятия. Дается пример последовательности, что ограничена сверху - -1, -8, -27, -64, …, -n 3 , … Отмечается, что верхней границей данной последовательности является число М=-1, а также больше него.

Аналогично верхней границе, рассматривается понятие нижней границы. Перед введением понятия рассматривается, что означает, когда последовательность ограничена снизу. Согласно определению, данному на слайде 7, последовательность будет ограниченной снизу, если значения членов не меньше определенного числа. Далее дается общее определение последовательности, что ограничена снизу, как последовательности, для которой существует число, значение которого всегда меньше или равно значений членов последовательности. Иначе это число называется нижней границей последовательности. Определение выделено цветом и рекомендовано к запоминанию. На слайде 9 приводится пример последовательности, ограниченной снизу. Отмечается, что последовательность 0,1,2,…, (n-1), …является ограниченной снизу, и эта граница равна 0 или меньшее число.

Слайд 10 демонстрирует определение ограниченной последовательности как числовой последовательности, ограниченной и сверху, и снизу. Примером служит последовательность -1, -1/4, -1/9, -1/16,…, -1/n 2 ,… При этом верхней границей последовательности является М=0, а нижней m=-1. Общий член последовательности выражается формулой y n =-1/n 2 . Последовательность задается аналитическим способом y n =-1/х 2 , где хϵN. На рисунке строится график такой функции, демонстрирующий множество точек, удовлетворяющих условию и представляющих собой числовую последовательность.

Далее раскрывается геометрический смысл понятия ограниченности последовательности. Отмечается, что ограниченность означает, что все числа последовательности лежат на определенном отрезке числовой оси. На рисунке приводится пример последовательности, описанной в предыдущем слайде. На числовой оси выделен отрезок, содержащий значения членов последовательности.

На слайде 12 дано определение возрастающей последовательности. Отмечается, что последовательность будет возрастающей при выполнении условия у 1

Определение убывающей последовательности описано на слайде 14. Отмечается, что условием для определения такой прогрессии является у 1 >y 2 >y 3 >…>y n >y n+1 >… В качестве примера подобной последовательности приводится 1, 1/3, 1/5, …, 1/(2n-1), … очевидно, что для нее выполняется условие 1>1/3>1/5>…>1/(2n-1)>1/2(n+1)-1>… На слайде 15 также отмечается, что убывающие и возрастающие последовательности составляют ряд монотонных последовательностей.

На последнем слайде приводятся примеры последовательностей, тип которых нужно определить. Так, последовательность -1,2,-3,4,…,(-1) n n, … не возрастает и не убывает, то есть не является монотонной. Последовательность y n =3 n монотонно возрастает. При этом отмечено, что последовательности вида y n =а n возрастают при а>1. В третьем примере отмечается, что последовательность y n =(1/5) n убывающая. В общем случае последовательность y n =а n убывающая для любого 0<а<1.

Презентация «Числовые последовательности» может использоваться в ходе проведения традиционного урока алгебры для повышения его эффективности. Также данный материал поможет обеспечить наглядность объяснения в ходе дистанционного обучения.

Cлайд 1

Cлайд 2

В сберегательном банке по номеру лицевого счета вкладчика можно легко найти этот счет и посмотреть, какой вклад на нем лежит. Пусть на счете №1 лежит вклад рублей, на счете №2 - рублей и т.д. Получается числовая последовательность: где N – число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число.

Cлайд 3

Число называют первым членом последовательности - вторым членом последовательности и т.д. - n-ым членом последовательности

Cлайд 4

Примеры числовых последовательностей Последовательность положительных четных чисел: 2, 4, 6, 8, ?, 10, … 2n,… Последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, …..,…

Cлайд 5

Виды последовательностей: Конечные: Пример: последовательность положительных двузначных чисел: 10,11,12,….98,99. Бесконечные: Пример: положительные четные числа: 2,4,6,8,10,…

Cлайд 6

Способы задания числовых последовательностей: Перечислением ее членов: 1, 3, 5, 7, 9. – последовательность нечетных однозначных чисел. Формулой n-ого члена последовательности: 2, 4, 6, 8, …2n,… -1, 1, -1, 1, -1, 1,… 5, 5, 5, 5,… Формулой, выражающей любой член последовательности через предыдущий, зная один или несколько первых членов – реккурентный способ: 11 , 1, 11, 21, 31, 41,…

Cлайд 7

Рассмотрим последовательность: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,… Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Т.е. последовательность – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие: d – разность арифметической прогрессии

Cлайд 8

Нахождение n-ого члена арифметической прогрессии: По определению арифметической прогрессии: - формула n-ого члена арифметической прогрессии

2. Определить арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних чисел получено среднее, и вместо знака * вставить пропущенное число: ,3104,62,51043,60,94 1,7*4,43,1*37,2*0,8

3. Учащиеся решали задание, в котором требуется найти пропущенные числа. У них получились разные ответы. Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки. Задание Ответ 1Ответ

Определение числовой последовательности Говорят, что задана числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-либо закону однозначно поставлено в соответствие определенное число (член последовательности). В общем виде указанное соответствие можно изобразить так: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, …, y n, … … n … Число n есть n-ый член последовательности. Всю последовательность обычно обозначают (y n).

Аналитический способ задания числовых последовательностей Последовательность задана аналитически, если указана формула n-ого члена. Например, 1) y n= n 2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – постоянная (стационарная) последовательность 2) y n= 2 n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, … Решить 585

Рекуррентный способ задания числовых последовательностей Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны ее предыдущие члены 1) арифметическая прогрессия задается рекуррентными соотношениями a 1 =a, a n+1 =a n + d 2) геометрическая прогрессия – b 1 =b, b n+1 =b n * q

Закрепление 591, 592 (a, б) 594, – 614 (a)

Ограниченность сверху Последовательность (y n) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n) ограничена сверху, если существует такое число M что для любого n выполняется неравенство y n M. M – верхняя граница последовательности Например, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Ограниченность снизу Последовательность (y n) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n) ограничена сверху, если существует такое число m что для любого n выполняется неравенство y n m. m – нижняя граница последовательности Например, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Ограниченность последовательности Последовательность (y n) называют ограниченной, если можно указать такие два числа A и B, между которыми лежат все члены последовательности. Выполняется неравенство Ay n B A – нижняя граница, B – верхняя граница Например, 1 – верхняя граница, 0 – нижняя граница

Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например," title="Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> title="Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> 23

Проверочная работа Вариант 1Вариант 2 1. Числовая последовательность задана формулой а) Вычислите первые четыре члена данной последовательности б) Является ли членом последовательности число? б) Является ли членом последовательности число 12,25? 2. Составьте формулу -ого члена последовательности 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…