Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
Линейные преобразования переменных.
Понятие квадратичной формы.
Квадратичные формы.
Определение: Квадратичной формой от переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.
Переменные можно рассматривать как аффинные координаты точки арифметического пространства А n или как координаты вектора n-мерного пространства V n . Будем обозначать квадратичную форму от переменных как.
Пример 1:
Если в квадратичной форме уже выполнено приведение подобных членов, то коэффициенты при обозначаются, а при () – . Т.о., считается, что. Квадратичную форму можно записать следующим образом:
Пример 2:
Матрица системы (1):
– называется матрицей квадратичной формы.
Пример: Матрицы квадратичных форм примера 1 имеют вид:
Матрица квадратичной формы примера 2:
Линейным преобразованием переменных называют такой переход от системы переменных к системе переменных, при котором старые переменные выражаются через новые с помощью форм:
где коэффициенты образуют невырожденную матрицу.
Если переменные рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве относительно некоторого базиса, то линейное преобразование (2) можно рассматривать как переход в этом пространстве к новому базису, относительно которого этот же вектор имеет координаты.
В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы только с действительными коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают только действительные значения. Если в квадратичной форме (1) переменные подвергнуть линейному преобразованию (2), то получится квадратичная форма от новых переменных. В дальнейшем мы покажем, при надлежащем выборе преобразования (2) квадратичную форму (1) можно привести к виду, содержащему только квадраты новых переменных, т.е. . Такой вид квадратичной формы называется каноническим . Матрица квадратичной формы в таком случае диагональная: .
Если все коэффициенты могут принимать лишь одно из значений: -1,0,1 соответствующий вид называется нормальным .
Пример: Уравнение центральной кривой второго порядка с помощью перехода к новой системе координат
можно привести к виду: , а квадратичная форма в этом случае примет вид:
Лемма 1: Если квадратичная форма (1) не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования ее можно привести в форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной.
Доказательство: По условию, квадратичная форма содержит только члены с произведениями переменных. Пусть при каких-либо различных значениях i и j отличен от нуля, т.е. – один из таких членов, входящих в квадратичную форму. Если выполнить линейное преобразование, а все остальные не менять, т.е. (определитель этого преобразования отличен от нуля), то в квадратичной форме появится даже два члена с квадратами переменных: . Эти слагаемые не могут исчезнуть при приведении подобных членов, т.к. каждый из оставшихся слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную или от или от.
Пример:
Лемма 2: Если квадратная форма (1) содержит слагаемое с квадратом переменной , напримери еще хотя бы одно слагаемое с переменной , то с помощью линейного преобразования , f можно перевести в форму от переменных , имеющую вид: (2), где g – квадратичная форма, не содержащая переменной .
Доказательство: Выделим в квадратичной форме (1) сумму членов, содержащих: (3) здесь через g 1 обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих.
Обозначим
(4), где через обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих.
Разделим обе части (4) на и вычтем полученное равенство из (3), после приведения подобных будем иметь:
Выражение в правой части не содержит переменной и является квадратичной формой от переменных. Обозначим это выражение через g, а коэффициент через, а тогда f будет равно: . Если произвести линейное преобразование: , определитель которого отличен от нуля, то g будет квадратичной формой от переменных, и квадратичная форма f будет приведена к виду (2). Лемма доказана.
Теорема: Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью преобразования переменных.
Доказательство: Проведем индукцию по числу переменных. Квадратичная форма от имеет вид: , которое уже является каноническим. Предположим, что теорема верна для квадратичной формы от n-1 переменных и докажем, что она верна для квадратично формы от n переменных.
Если f не содержит квадратов переменных, то по лемме 1 ее можно привести к виду, содержащему квадрат хотя бы одной переменной, по лемме 2 полученную квадратичную форму можно представить в виде (2). Т.к. квадратичная форма является зависимой от n-1 переменных, то по индуктивному предположению она может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования этих переменных к переменным, если к формулам этого перехода еще добавить формулу, то мы получим формулы линейного преобразования, которое приводит к каноническому виду квадратичную форму, содержащуюся в равенстве (2). Композиция всех рассматриваемых преобразований переменных является искомым линейным преобразованием, приводящим к каноническому виду квадратичную форму (1).
Если квадратичная форма (1) содержит квадрат какой-либо переменной, то лемму 1 применять не нужно. Приведенный способ называется методом Лагранжа .
От канонического вида, где, можно перейти к нормальному виду, где, если, и, если, с помощью преобразования:
Пример: Привести к каноническому виду методом Лагранжа квадратичную форму:
Т.к. квадратичная форма f уже содержит квадраты некоторых переменных, то лемму 1 применять не нужно.
Выделяем члены, содержащие:
3. Чтобы получить линейное преобразование, непосредственно приводящее форму f к виду (4), найдем сначала преобразования, обратные преобразованиям (2) и (3).
Теперь, с помощью этих преобразований построим их композицию:
Если подставить полученные значения (5) в (1), мы сразу же получим представление квадратичной формы в виде (4).
От канонического вида (4) с помощью преобразования
можно перейти к нормальному виду:
Линейное преобразование, приводящее квадратичную форму (1) к нормальному виду, выражается формулами:
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №26 (II семестр)
Тема: Закон инерции. Положительно определённые формы.
определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица называется матрицей квадратичной формы. Здесь a 1 2 =a 2 1 . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда , где λ 1 и λ 2 – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a , причем:
а) если λ 1 >0; λ 2 >0 – эллипс, в частности, при λ 1 =λ 2 это окружность;
б) если λ 1 >0, λ 2 <0 (λ 1 <0, λ 2 >0) имеем гиперболу;
в) если λ 1 =0 либо λ 2 =0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (здесь λ 2 =0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .
Пример
. Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i
=(1,0) и j
=(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение
. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x 1 2 -2y 1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x 1 =1: x
1 =(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x
1 .
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
1 ,j
1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или
; . (*)
Задание
. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение
.
Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.
Пусть дана квадратичная форма
Напомним, что, ввиду симметричности матрицы
,
Возможны два случая:
1. Хотя бы один из коэффициентовпри квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. Все коэффициенты,
но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет).
В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:
,
а через обозначены все остальные слагаемые.
представляет собой квадратичную форму от (n-1) переменных .
С ней поступают аналогичным образом и так далее.
Заметим, что
Второй случай заменой переменных
сводится к первому.
Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата
.
(Так как .)
или
(3)
или
(4)
и
от неизвестных
формапримет вид.
Далее полагаем
или
и
от неизвестных
формапримет уже канонический вид
Разрешим
равенства (3) относительно
:
или
Последовательное
выполнение линейных преобразований
и
,
где
,
имеет матрицей
Линейное
преобразование неизвестных
приводит
квадратичную форму
к каноническому виду (4). Переменные
связаны с новыми переменными
соотношениями
С LU - разложением мы познакомились в практикуме 2_1
Вспомним утверждения из практикума 2_1
Утверждения (см.Л.5, стр. 176)
Данный скрипт призван понять роль LU в методе Лагранжа, с ним нужно работать в блокноте EDITOR с помощью кнопки F9.
А в прилагаемых ниже заданиях лучше создать свои М-функции, помогающие вычислению и осознанию задач линейной алгебры (в рамках данной работы)
Ax=X."*A*X % получаем квадратичную форму
Ax=simple(Ax) % упрощаем ее
4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2
% найдем LU разложение без перестановки строк матрицы A
% При преобразовании матрицы к ступенчатому виду
%без перестановок строк, мы получим матрицу M1 и U3
% U получается из A U3=M1*A,
% вот такой матрицей элементарных преобразований
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
%мы получим U3=M1*A, где
4.0000 -2.0000 2.0000
% из M1 легко получить L1, поменяв знаки
% в первом столбце во всех строках кроме первой.
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
% L1 такое, что
A_=L1*U % вот это и есть нужное нам LU разложение
% Элементы, стоящие на главной диагонали U -
% это коэффициенты при квадратах y i ^2
% в преобразованной квадратичной форме
% в нашем случае, есть один только коэффициент
% значит, в новых координатах будет только 4y 1 2 в квадрате,
% при остальных 0y 2 2 и 0y 3 2 коэффициенты равны нулю
% столбцы матрицы L1 - это разложение Y по X
% по первому столбцу видим y1=x1-0.5x2+0.5x3
% по второму видим y2=x2; по третьему y3=x3.
% если транспонировать L1,
% то есть T=L1."
% T - матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX
0.5000 1.0000 0
1.0000 -0.5000 0.5000
% A2 – матрица преобразованной квадратичной формы
% Заметим U=A2*L1." и A=L1* A2*L1."
4.0000 -2.0000 2.0000
1.0000 -0.5000 0.5000 |
% Итак, мы получили разложение A_=L1* A2*L1." или A_=T."* A2*T
% показывающее замену переменных
% y1=x1-0.5x2+0.5x3
% и представление квадратичной формы в новых координатах
A_=T."*A2*T % T=L1." матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX
isequal(A,A_) % должно совпасть с исходной A
4.0000 -2.0000 2.0000
2.0000 1.0000 -1.5000
2.0000 -1.5000 1.0000
Q1=inv(T) % находим матрицу перехода от {Y} к {X}
% Найдем преобразование,
% приводящее квадратичную форму Ax=X."*A*X
% к новому виду Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y
Ay =4*y1^2 - y2*y3
x1 - x2/2 + x3/2
% матрица второго преобразования,
% которая составляется значительно проще.
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
% R=Q1*Q2, X=R*Z
R=Q1*Q2 % невырожденное линейное преобразование
% приводящее матрицу оператора к каноническому виду.
det(R) % определитель не равен нулю - преобразование невырожденное
4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
Сформулируем алгоритм приведения квад ратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием:
При рассмотрении евклидового пространства мы вводили определение квадратичной формы. С помощью некоторой матрицы
строится многочлен второго порядка вида
который называется квадратичной формой, порождаемой квадратной матрицей А.
Квадратичные формы тесно связаны с поверхностями второго порядка в n - мерном евклидовом пространстве. Общее уравнение таких поверхностей в нашем трехмерном евклидовом пространстве в декартовой системе координат имеет вид:
Верхняя строка - это не что иное, как квадратичная форма, если положить x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z:
- симметричная матрица (a ij = a ji)
положим для общности, что многочлен
есть линейная форма. Тогда общее уравнение поверхности есть сумма квадратичной формы, линейной формы и некоторой постоянной.
Основной задачей теории квадратичных форм является приведение квадратичной формы к максимально простому виду с помощью невырожденного линейного преобразования переменных или, другими словами, замены базиса.
Вспомним, что при изучении поверхностей второго порядка мы приходили к выводу о том, что путем поворота осей координат можно избавиться от слагаемых, содержащих произведение xy, xz, yz или x i x j (ij). Далее, путем параллельного переноса осей координат можно избавиться от линейных слагаемых и в конечном итоге свести общее уравнение поверхности к виду:
В случае квадратичной формы приведение ее к виду
называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.
Поворот осей координат есть не что иное, как замена одного базиса другим, или, другими словами, линейное преобразование.
Запишем квадратичную форму в матричном виде. Для этого представим ее следующим образом:
L(x,y,z) = x(a 11 x+a 12 y+a 13 z)+
Y(a 12 x+a 22 y+a 23 z)+
Z(a 13 x+a 23 y+a 33 z)
Введем матрицу - столбец
Тогда
- гдеX
T
=(x,y,z)
Матричная форма записи квадратичной формы. Эта формула, очевидно, справедлива и в общем случае:
Канонический вид квадратичной формы означает, очевидно, что матрица А имеет диагональный вид:
Рассмотрим некоторое линейное преобразование X = SY, где S - квадратная матрица порядка n, а матрицы - столбцы Х и У есть:
Матрица S называется матрицей линейного преобразования. Отметим попутно, что всякой матрице n-ного порядка при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор.
Линейное преобразование X = SY заменяет переменные x 1 , x 2 , x 3 новыми переменными y 1 , y 2 , y 3 . Тогда:
где B = S T A S
Задача приведения к каноническому виду сводится к отысканию такой матрицы перехода S, чтобы матрица В приобрела диагональный вид:
Итак, квадратичная форма с матрицей А после линейного преобразования переменных переходит в квадратичную форму от новых переменных с матрицей В .
Обратимся к линейным операторам. Каждой матрице А при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор А . Этот оператор имеет, очевидно, некоторую систему собственных чисел и собственных векторов. Причем, отметим, что в евклидовом пространстве система собственных векторов будет ортогональна. Мы доказывали на предыдущей лекции, что в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид. Формула (*), как мы помним, это формула преобразования матрицы линейного оператора при смене базиса. Положим, что собственные вектора линейного оператора А с матрицей А - это вектора у 1 , y 2 , ..., y n .
А это означает, что если собственные вектора у 1 , y 2 , ..., y n взять за базис, то матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональной
или В = S -1 А S, где S – матрица перехода от первоначального базиса {e } к базису {y }. Причем в ортонормированном базисе матрица S будет ортогональной.
Т. о. для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора А, имеющего в первоначальном базисе матрицу А, которая порождает квадратичную форму, перейти к базису собственных векторов и в новой системе координат построить квадратичную форму.
Обратимся к конкретным примерам. Рассмотрим линии второго порядка.
или
С помощью поворота осей координат и последующего параллельного переноса осей это уравнение можно привести к виду (переменные и коэффициенты переобозначены х 1 = х, х 2 = у):
1)
если линия центральная, 1
0, 2
0
2)
если линия нецентральная, т. е.
один из i
= 0.
Напомним виды линий второго порядка. Центральные линии:
Нецентральные линии:
5) х 2 = а 2 две параллельные линии;
6) х 2 = 0 две сливающиеся прямые;
7) у 2 = 2рх парабола.
Для нас представляют интерес случаи 1), 2), 7).
Рассмотрим конкретный пример.
Привести к каноническому виду уравнение линии и построить ее:
5х 2 + 4ху + 8у 2 - 32х - 56у + 80 = 0.
Матрица квадратичной
формы есть
.
Характеристическое уравнение:
Его корни:
Найдем собственные векторы:
При
1
= 4:
u 1
= -2u 2 ;
u 1
= 2c, u 2
= -c или
g 1
= c 1 (2i
– j).
При
2
= 9:
2u 1
= u 2 ;
u 1
= c, u 2
= 2c или
g 2
= c 2 (i
+2j).
Нормируем эти векторы:
Составим матрицу линейного преобразования или матрицу перехода к базису g 1 , g 2:
- ортогональная матрица!
Формулы преобразования координат имеют вид:
или
Подставим в наше уравнение линии и получим:
Сделаем параллельный перенос осей координат. Для этого выделим полные квадраты по х 1 и у 1:
Обозначим
.
Тогда уравнение приобретет вид: 4х 2 2
+ 9у 2 2
= 36 или
Это эллипс с полуосями 3 и 2. Определим угол поворота осей координат и их сдвиг для того, чтобы построить эллипс в старой системе.
Построим:
Проверка: при х = 0: 8у 2 - 56у + 80 = 0 у 2 – 7у + 10 = 0. Отсюда у 1,2 = 5; 2
При у =0: 5х 2 – 32х + 80 = 0 Здесь нет корней, т. е. нет точек пересечения с осью х !