В некоторых случаях эмпирические данные статистической совокупности, изображенные наглядно с помощью координатной диаграммы, показывают, что увеличение фактора сопровождаются опережающим ростом результата. Для теоретического описания такого рода корреляционной взаимосвязи признаков можно взять уравнение параболической регрессии второго порядка:
где , – параметр, показывающий среднее значение результативного признака при условии полной изоляции влияния фактора (х=0); – коэффициент пропорциональности изменения результата при условии абсолютного прироста признака-фактора на каждую его единицу; с – коэффициент ускорения (замедления) прироста результативного признака на каждую единицу фактора.
Положив в основу вычисления параметров , , с способ наименьших квадратов и приняв условно срединное значение ранжированного ряда за начальное, будем иметь Σх=0, Σх 3 =0. При этом система уравнений в упрощенном виде будет:
Из этих уравнений можно найти параметры , , с, которые в общем виде можно записать так:
(11.20)
(11.22)
Отсюда видно, что для определения параметров , , с необходимо рассчитать следующие значения: Σ у, Σ ху, Σ х 2 , Σ х 2 у, Σ х 4 . С этой целью можно воспользоваться макетом табл. 11.9.
Допустим, имеются данные об удельном весе посевов картофеля в структуре всех посевных площадей и урожае (валовом сборе) культуры в 30 сельскохозяйственных организациях. Необходимо составить и решить уравнение корреляционной взаимосвязи между этими показателями.
Т а б л и ц а 11.9. Расчет вспомогательных показателей для уравнения
Параболической регрессии
| № п.п. | х | у | ху | х 2 | х 2 у | х 4 |
| х 1 | у 1 | х 1 у 1 | ||||
| х 2 | у 2 | х 2 у 2 | ||||
| … | … | … | … | … | … | … |
| n | х n | у n | х n у n | |||
| Σ | Σх | Σу | Σху | Σх 2 | Σх 2 у | Σх 4 |
Графическое изображение поля корреляции показало, что изучаемые показатели эмпирически связаны между собой линией, приближающейся к параболе второго порядка. Поэтому расчет необходимых параметров , , с в составе искомого уравнения параболической регрессии проведем с использованием макета табл. 11.10.
Т а б л и ц а 11.10. Расчет вспомогательных данных для уравнения
Параболической регрессии
| № п.п. | х, % | у, тыс.т | ху | х 2 | х 2 у | х 4 |
| 1,0 | 5,0 | 5,0 | 1,0 | 5,0 | 1,0 | |
| 1,5 | 7,0 | 10,5 | 2,3 | 15,8 | 5,0 | |
| … | … | … | … | … | … | … |
| n | 8,0 | 20,0 | 160,0 | 64,0 | ||
| Σ |
Подставим конкретные значения Σ у=495, Σ ху=600, Σ х 2 =750, Σ х 2 у=12375, Σ х 4 =18750, имеющиеся в табл. 11.10, в формулы (11.20), (11.21), (11.22). Получим
Таким образом, уравнение параболической регрессии, выражающие влияние удельного веса посевов картофеля в структуре посевных площадей на урожай (валовой сбор) культуры в сельскохозяйственных организациях, имеет следующий вид:
(11.23)
Уравнение 11.23 показывает, что в условиях заданной выборочной совокупности средний урожай (валовой сбор) картофеля (10 тыс. ц) может быть получен без влияния изучаемого фактора – повышения удельного веса посевов культуры в структуре посевных площадей, т.е. при таком условии, когда колебания удельного веса посевов не будут оказывать воздействие на размер урожая картофеля (х=0). Параметр (коэффициент пропорциональности) в=0,8 показывает, что каждый процент повышения удельного веса посевов обеспечивает прирост урожая в среднем на 0,8 тыс. т, а параметр с=0,1 свидетельствует о том, что на один процент (в квадрате) ускоряется приращение урожая в среднем на 0,1 тыс. т картофеля.
Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.
Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.
Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.
Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.
Регрессия бывает:
Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.
Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.
Модель линейной регрессии имеет следующий вид:
У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.
Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.
В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).
В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».
Активируем мощный аналитический инструмент:
После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».
Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.
В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.
R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».
Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.
Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.
Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.
Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.
Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.
Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.
Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.
Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.
Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.
Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).
Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.
Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:
На практике эти две методики часто применяются вместе.
Пример:
Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.
Ещё один вид однофакторной регрессии – аппроксимация степенными полиномами вида:
Естественно
желание получить как можно простую
зависимость, ограничиваясь степенным
полиномам второй степени, т.е. параболической
зависимостью:
(5.5.2)
Вычислим частные производные по коэффициентам b 0 , b 1 и b 2 :
(5.5.3)
Приравнивая производные нулю получим нормальных систему уравнений:
(5.5.4)
Решая систему
нормальных уравнений (5.5.2) для конкретного
случая значений x
i
*
,
y
i
*
;
получим
оптимальные
значения b
0
,
b
1
и b
2
.
Для
аппроксимации зависимостью (5.5.2) и тем
более (5.5.1) не получены простые формулы
для вычисления коэффициентов и как
правило их вычисление производят по
стандартным процедурам в матричном
виде:
(5.5.5)
На рис.5.5.1
приведён типовой пример аппроксимации
параболической
зависимостью:
9 (5;9)
(1;1)
1
1 2 3 4 5 х
Рис.5.5.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-
щая их параболическая зависимость
Пример
5.1.
Провести
аппроксимацию результатов эксперимента,
приведённых в таблице 5.1.1, линейным
уравнением регрессии
.
Таблица 5.1.1
|
|
|
Построим экспериментальные точки по координатам, указанным в таблице 5.1.1 на графике, представленном на рис.5.1.1.
у
9
4
1 2 3 4 5 х
По рис.5.1.1, на котором для предварительной оценки проведём прямую линию, сделаем заключение, что в расположении экспериментальных точек имеется явно выраженная нелинейность, но она не очень значительная и поэтому имеет смысл провести их аппроксимацию линейной зависимостью. Отметим, что для получения корректно-математического заключения требуется построить прямую линию методом наименьших квадратов.
До проведения регрессионного анализа целесообразно вычислить
коэффициент линейной корреляции между переменными х и у :
Существенность корреляционной связи определяется по критическому значению коэффициента линейной корреляции, вычисляемого по формуле:
Критическое значение критерия Стьюдента t крит находится по статистическим таблицам для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и для n -2 степеней свободы. Если вычисленное значение r xy не меньше критического значения r крит , то корреляционная связь между переменными x и y считается сушественной. Произведём вычисления:
Ввиду того, что
делаем заключение, что корреляционная
связь между переменнымих
и у
является существенной и она может быть
линейной.
Вычислим коэффициенты уравнения регрессии:
Таким образом, получили линейное уравнение регрессии:
По уравнению регрессии проведём прямую линию на рис.5.1.2.
у
(5;9.8)
9
4
(0;-0.2) 1 2 3 4 5 х
Рис.5.1.2. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-
щая
их линейная зависимость
По уравнению регрессии вычислим значения функции по экспериментальным точкам таблицы 5.1.1 и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в таблице 5.1.2.
Таблица 5.1.2
|
|
|
|
|
|
Вычислим среднюю квадратическую ошибку и её отношение к среднему значению:
По отношению стандартной ошибки к среднему значению получен неудовлетворительный результат, так как превышено рекомендуемое значение в 0.05.
Проведём оценку уровня значимости коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:
Из статистической
таблицы для
3
степеней свободы выпишем строки с
уровнем значимости -
и значением критерия Стьюдента–
t
в таблицу 5.1.3.
Таблица 5.1.3
|
| ||||||
|
|
Уровень значимости коэффициентов уравнения регрессии:
Отметим, что по
уровню значимости для коэффициента
получен удовлетворительный
результат, а для коэффициента
неудовлетворительный.
Проведём оценку качества полученного уравнения регрессии по показателям, вычисляемым на основе дисперсионного анализа:
Проверка:
Результат проверки – положительный, что свидетельствует о корректности проведённых вычислений.
Вычислим критерий Фишера:
при двух степенях
свободы:
По статистическим таблицам находим критические значения критерия Фишера для двух рекомендуемых градаций уровня значимости:
Так как вычисленное значение критерия Фишера превосходит критическое дл уровня значимости 0,01, то будем считать, что уровень значимости по критерию Фишера меньше 0,01, что будем считать удовлетворительным.
Вычислим коэффициент множественной детерминации:
для двух степеней свободы
По статистической
таблице для рекомендуемого уровня
значимости 0,05и двух найденных степеней
свободы находим критическое значение
коэффициента множественной детерминации:
Так
как вычисленное значение коэффициента
множественной детерминации превышает
критическое значение для уровня
значимости
,
то уровень значимости по коэффициенту
множественной детерминации
и полученный результат поданному
показателю будем считать удовлетворительным.
Таким образом, полученные расчётные параметры по отношению стандартной ошибки к среднему значению и уровню значимости по критерию Стьюдента являются неудовлетворительными, поэтому целесообразно для аппроксимации подобрать другую аппроксимирующую зависимость.
Пример 5.2.
Аппроксимация экспериментального
распределения случайных чисел
математической зависимостью
Экспериментальное распределение случайных чисел, приведённое в таблице 5.1.1, при аппроксимации линейной зависимостью, не привело к удовлетворительному результату, в т.ч. по незначимости коэффициента уравнения регрессии при свободном члене, поэтому для улучшения качества аппроксимации попробуем её провести линейной зависимостью без свободного члена:
Вычислим значение коэффициента уравнения регрессии:
Таким образом,
получили уравнение регрессии:
По полученному уравнению регрессии вычислим значения функции и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в виде таблицы 5.2.1.
Таблица 5.2.1
|
x i |
|
|
|
|
По уравнению
регрессии
на рис.5.2.1 проведём прямую линию.
у
(5;9.
73
)
(0;0) 1 2 3 4 5 х
Рис.5.2.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-
ющая
их линейная зависимость
Для оценки качества аппроксимации проведём вычисления показателей качества аналогично вычислениям, приведённым в примере 5.1.
(осталось старым);
с 4-мя степенями
свободы;
для
По результатам проведённой аппроксимации отметим, что по уровню значимости коэффициента уравнения регрессии получен удовлетворительный результат; отношение стандартной ошибки к среднему значению улучшилось, но всё ещё осталось выше рекомендуемого значения 0.05, поэтому рекомендуется повторить аппроксимацию более сложной математической зависимостью.
Пример
5.3.
Для
улучшения качества аппроксимации
примеров 5.1 и 5.2 проведём нелинейную
аппроксимацию зависимостью
.
Для этого первоначально произведём
промежуточные вычисления и их результаты
поместим в таблицу 5.3.1.
Значения
Таблица 5.3.1|
X 2 | ||||||
|
(lnX ) 2 | ||||||
|
lnX·lnY |
Дополнительно
вычислим:
Произведём
аппроксимацию зависимостью
.
По формулам (5.3.7), (5.3.8) вычислим коэффициентыb
0
и b
1
:
По формулам (5.3.11) вычислим коэффициенты A 0 и A 1 :
Для вычисления стандартной ошибки проведены промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.3.2.
Таблица 5.3.2
|
Y i |
y i |
|
|
Сумма: 7,5968
Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в двух предыдущих примерах, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.
Пример
5.4.
Попробуем
провести аппроксимацию ещё одной
нелинейной зависимостью
.
По формулам (5.3.9), (5.3.10) по данным таблицы
5.3.1 вычислим коэффициентыb
0
и b
1
:
Получили промежуточную зависимость:
По формулам (5.3.13) вычислим коэффициенты C 0 и C 1 :
Получили окончательную зависимость:
Для вычисления стандартной ошибки проведём промежуточные вычисления и поместим их в таблицу 5.4.1.
Таблица 5.4.1
|
Y i |
y i |
|
|
Сумма: 21,83152
Вычислим стандартную ошибку:
Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в предыдущем примере, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.
Пример 5.5. Аппроксимация экспериментального распределения случайных чисел математической зависимостью y = b · lnx
Исходные данные как и в предыдущих примерах приведены в таблице 5.4.1 и на рис.5.4.1.
Таблица 5.4.1
|
|
|
На основании анализа рис.5.4.1 и таблицы 5.4.1 отметим, что при меньших значениях аргумента (в начале таблицы) функция изменяется сильнее, чем при больших (в конце таблицы) поэтому представляется целесообразным изменить масштаб аргумента и ввести в уравнение регрессии логарифмическую функцию от него и провести аппроксимацию следующей математической зависимостью:
.
По формуле (5.4.3) вычислим коэффициент
b
:
Для оценки качества аппроксимации проведём промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.4.2, по которым вычислим величину ошибки и отношение стандартной ошибки к среднему значению.
Таблица 5.4.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как по отношению стандартной ошибки к среднему значению превышено рекомендуемое значение 0,05, то результат будем считать неудовлетворительным. В частности, отметим, что наибольшее отклонение даёт значение х=1, так как при этом значении lnx =0. Поэтому проведём аппроксимацию зависимстью y = b 0 +b 1 ·lnx
Вспомогательные вычисления представим в виде таблицы 5.4.3.
Таблица 5.4.3
|
|
|
|
|
|
|
По формулам (5.4.6) и (5.4.7) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :
9 (5;9.12)
4
1 (1;0.93)
1 2 3 4 5 х
Для оценки качества аппроксимации проведём вспомогательные вычисления и определим уровень значимости найденных коэффициентов и отношение стандартной ошибки к среднему значению.
Уровень
значимости
чуть выше рекомендованного значения
0,05 (
).
Ввиду того, что
по главному показателю – отношению
стандартной ошибки к среднему значению
получено почти двукратное превышение
рекомендуемого уровня 0,05 результаты
будем считать приемлемыми. Отметим, что
вычисленное значение критерия Стьюдента
t
b
0
=2,922
отличается от критического
сравнительно на небольшую величину.
Пример 5.6.
Проведём
аппроксимацию экспериментальных данных
примера 5.1 гиперболической зависимостью
. Для того, чтобы вычислить коэффициентовb
0
и
b
1
проведём
предварительные вычисления, приведённые
в таблице 5.6.1.
Таблица 5.6.1
|
X i |
x i =1/X i |
|
x i 2 |
x i y i |
|
По результатам таблицы 5.6.1 по формулам (5.4.8) и (5.4.9) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :
Таким образом, получено гиперболическое уравнение регрессии
.
Результаты вспомогательных вычислений для оценки качества аппроксимации приведены в таблице 5.6.2.
Таблица 5.6.2
|
X i |
|
|
|
|
По результатам таблицы 5.6.2 вычислим стандартную ошибку и отношение стандартной ошибки к среднему значению:
Ввиду того, что отношение стандартной ошибки к среднему значению превышает рекомендуемое значение 0,05 делаем заключение о непригодности результатов аппроксимации.
Пример 5.7.
Для вычисления конкретных значений доходов от работы стреловых кранов в зависимости от времени проведения профилактических работ требуется получить параболическую зависимость .
Вычислим коэффициенты этой зависимости b 0 , b 1 , b 11 в матричном виде по формуле:
Нелинейные уравнения регрессии, связывающие результативный показатель с оптимальными значениями проведения профилактических работ башенных кранов, получены с помощью процедуры множественной регрессии пакета прикладных программ Statistica 6.0. Далее приведем результаты регрессионного анализа для результативного показателя эффективности по таблице 5.7.1.
Таблица 5.7.1
|
|
|
|
|
В таблице 5.7.2 приведены результаты нелинейной регрессии для результативного показателя эффективности и в таблице 5.7.3 результаты анализа остатков.
Таблица 5.7.2
Таблица 5.7.3
Рис. 3.7.36. Анализ остатков.
Таким образом,
получили уравнение множественной
регрессии для переменной
:
Отношение стандартной ошибки к среднему значению:
14780/1017890=0,0145 < 0,05.
Так как отношение стандартной ошибки к среднему значению не превышает рекомендуемого значения 0,05 то результаты аппроксимации можно считать приемлемыми. В качестве недостатка по таблице 5.7.2 следует отметить превышение рекомендуемого уровня значимости 0.05 всеми вычисленными коэффициентами.
Зависимость между переменными величинами X и У может быть описана разными способами. В частности, любую форму связи можно выразить уравнением общего вида у= f(х), где у рассматривают в качестве зависимой переменной, или функции от другой - независимой переменной величины х, называемой аргументом . Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д. Изменение функции в зависимости от изменений одного или нескольких аргументов называется регрессией .
Термин «регрессия» (от лат. regressio - движение назад) ввел Ф. Гальтон, изучавший наследование количественных признаков. Он обнаружил. что потомство высокорослых и низкорослых родителей возвращается (регрессирует) на 1/3 в сторону среднего уровня этого признака в данной популяции. С дальнейшем развитием науки, этот термин утратил свое буквальное значение и стал применяться для обозначения и корреляционной зависимости между переменными величинами Y и X.
Различных форм и видов корреляционных связей много. Задача исследователя сводится к тому, чтобы в каждом конкретном случае выявить форму связи и выразить ее соответствующим корреляционным уравнением, что позволяет предвидеть возможные изменения одного признака Y на основании известных изменений другого X, связанного с первым корреляционно.
Иногда связи, между переменными Y и X можно выразить через формулу параболы
Где a,b,c - неизвестные коэффициенты которые и надо найти, при известных измерениях Y и X
Можно решать матричным способом, но есть уже рассчитанные формулы, которыми мы и воспользуемся
N - число членов ряда регресии
Y - значения переменной Y
X - значения переменной X
Если вы будете пользоваться этим ботом через XMPP клиента, то синаксис такой
regress ряд X;ряд Y;2
Где 2 - показывает что регрессию рассчитываем как нелинейную в виде параболы второго порядка
Что ж, пора проверить наши расчеты.
Итак есть таблица
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 18.2 |
| 2 | 20.1 |
| 3 | 23.4 |
| 4 | 24.6 |
| 5 | 25.6 |
| 6 | 25.9 |
| 7 | 23.6 |
| 8 | 22.7 |
| 9 | 19.2 |
Рассмотрим построение уравнения регрессии вида .
Составление системы нормальных уравнений для нахождения коэффициентов параболической регрессии осуществляется аналогично составлению нормальных уравнений линейной регрессии.
После преобразований получаем:
.
Решая систему нормальных уравнений, получают коэффициенты уравнения регрессии.
,
где 
, а .
Уравнение второй степени значимо лучше описывает экспериментальные данные, чем уравнение первой степени, если уменьшение дисперсии по сравнению с дисперсией линейной регрессии является значимым (неслучайным). Значимость различия между и оценивается критерием Фишера:
где число берется по справочным статистическим таблицам (приложение 1) соответственно степеням свободы и выбранного уровня значимости .
Порядок выполнения расчетной работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом, изложенным в методических указаниях либо в дополнительной литературе.
2. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии . Для этого необходимо вычислить суммы . Удобно сразу вычислить суммы 
, которые пригодятся для расчета коэффициентов параболического уравнения.
3. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению .
4. Вычислить общую и остаточную дисперсии , , а также критерий Фишера .
где 
– матрица, элементами которой являются коэффициенты системы нормальных уравнений;
– вектор, элементами которого являются неизвестные коэффициенты;
– матрица правых частей системы уравнений.
7. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению .
8. Вычислить остаточную дисперсию , а также критерий Фишера .
9. Сделать выводы.
10. Построить графики уравнений регрессии и исходных данных.
11. Оформить расчетную работу.
Пример расчета.
По экспериментальным данным зависимости плотности водяного пара от температуры получить уравнения регрессии вида и . Провести статистический анализ и сделать вывод о лучшей эмпирической зависимости.
| 0,0512 | 0,0687 | 0,081 | 0,1546 | 0,2516 | 0,3943 | 0,5977 | 0,8795 |
Обработка экспериментальных данных проведена в соответствии с рекомендациями к работе. Расчеты для определения параметров линейного уравнения приведены в таблице 1.
| Таблица 1 – Нахождение параметров линейной зависимости вида | ||||||||
| Плотность водяного пара на линии насыщения | ||||||||
| № | t i ,°C | , ом | t i 2 | расч. | ||||
| 0,0512 | 2,05 | -0,0403 | -0,0915 | 0,0084 | 0,0669 | |||
| 0,0687 | 3,16 | 0,0248 | -0,0439 | 0,0019 | 0,0582 | |||
| 0,0811 | 4,22 | 0,0899 | 0,0089 | 0,0001 | 0,0523 | |||
| 0,1546 | 9,9 | 0,2202 | 0,06565 | 0,0043 | 0,0241 | |||
| 0,2516 | 19,12 | 0,3505 | 0,09894 | 0,0098 | 0,0034 | |||
| 0,3943 | 34,70 | 0,4808 | 0,08654 | 0,0075 | 0,0071 | |||
| 0,5977 | 59,77 | 0,6111 | 0,01344 | 0,0002 | 0,0829 | |||
| 0,8795 | 98,50 | 0,7414 | -0,13807 | 0,0191 | 0,3245 | |||
| сумма | 2,4786 | 231,41 | 0,0512 | 0,6194 | ||||
| среднее | 72,25 | 0,3098 | 5822,5 | 28,93 | ||||
| b 0 = | -0,4747 | D 1 ост 2 = | 0,0085 | |||||
| b 1 = | 0,0109 | D y 2 = | 0,0885 | |||||
| F = | 10,368 | |||||||
| F T =3,87 F >F T модель адекватна |
.
Для определения параметров параболической регрессии вначале были определены элементы матрицы коэффициентов и матрицы правых частей системы нормальных уравнений. Затем расчет коэффициентов выполнен в среде MathCad:
Данные расчетов приведены в таблице 2.
Обозначения в таблице 2:
.
Выводы
Параболическое уравнение значимо лучше описывает экспериментальные данные зависимости плотности пара от температуры, так как расчетное значение критерия Фишера значительно превышает табличное равное 4,39. Следовательно, включение квадратичного члена в полиномиальное уравнение имеет смысл.
Полученные результаты представлены в графическом виде (рис.3).
Рисунок 3 – Графическая интерпретация результатов расчета.
Пунктирная линия – уравнение линейной регрессии; сплошная линия – параболической регрессии, точки на графике – экспериментальные значения.
| Таблица 2. – Нахождение параметров зависимости вида y (t )=a 0 +a 1 ∙x+a 2 ∙x 2 | Плотность водяного пара на линии насыщения ρ= a 0 +a 1 ∙t+a 2 ∙t 2 | (ρ i –ρср) 2 | 0,0669 | 0,0582 | 0,0523 | 0,0241 | 0,0034 | 0,0071 | 0,0829 | 0,03245 | 0,6194 | |||||
| (Δρ) 2 | 0,0001 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0010 | 0,0085 | 0,0002 | 0,0885 | 42,5 | |||
| ∆ρ i =ρ(t i )расч–ρ i | 0,01194 | –0,00446 | –0,00377 | –0,01524 | –0,00235 | 0,01270 | 0,011489 | –0,01348 | D 1 2 ост = | D 2 2 ост = | D 1 2 y = | F= | ||||
| ρ(t i )расч. | 0,0631 | 0,0642 | 0,0773 | 0,1394- | 0,2493 | 0,4070 | 0,6126 | 0,8660 | 2,4788 | |||||||
| t i 2ρ i | 81,84 | 145,33 | 219,21 | 633,24 | 1453,2 | 3053,4 | 5977,00 | 11032,45 | 22595,77 | |||||||
| t i 4 | ||||||||||||||||
| t i 3 | ||||||||||||||||
| t i ρ i | 2,05 | 3,16 | 4,22 | 9,89 | 19,12 | 34,70 | 59,77 | 98,50 | 231,41 | |||||||
| t i 2 | ||||||||||||||||
| ρ, ом | 0,0512 | 0,0687 | 0,0811 | 0,1546 | 0,2516 | 0,3943 | 0,5977 | 0,8795 | 2,4786 | 0,3098 | ||||||
| t i ,°C | 0,36129 | –0,0141 | 1,6613E-04 | |||||||||||||
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | сумма | среднее | a 0 = | a 1 = | a 2 = |
Приложение 1
Таблица распределения Фишера при q = 0,05
| f 2 | - | |||||||||
| f 1 | ||||||||||
| 161,40 | 199,50 | 215,70 | 224,60 | 230,20 | 234,00 | 238,90 | 243,90 | 249,00 | 254,30 | |
| 18,51 | 19,00 | 19,16 | 19,25 | 19,30 | 19,33 | 19,37 | 19,41 | 19,45 | 19,50 | |
| 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,64 | 8,53 | |
| 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,76 | 6,16 | 6,04 | 5,91 | 5,77 | 5,63 | |
| 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,53 | 4,36 | |
| 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,15 | 4,00 | 3,84 | 3,67 | |
| 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,73 | 3,57 | 3,41 | 3,23 | |
| 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3,28 | 3,12 | 2,93 | |
| 5,12 | 4,26 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,24 | 3,07 | 2,90 | 2,71 | |
| 4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,07 | 2,91 | 2,74 | 2,54 | |
| 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3,20 | 3,09 | 2,95 | 2,79 | 2,61 | 2,40 | |
| 4,75 | 3,88 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3,00 | 2,85 | 2,69 | 2,50 | 2,30 | |
| 4,67 | 3,80 | 3,41 | 3,18 | 3,02 | 2,92 | 2,77 | 2,60 | 2,42 | 2,21 | |
| 4,60 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,70 | 2,53 | 2,35 | 2,13 | |
| 4,54 | 3,68 | 3,29 | 3,06 | 2,90 | 2,79 | 2,64 | 2,48 | 2,29 | 2,07 | |
| 4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2,82 | 2,74 | 2,59 | 2,42 | 2,24 | 2,01 | |
| 4,45 | 3,59 | 3,20 | 2,96 | 2,81 | 2,70 | 2,55 | 2,38 | 2,19 | 1,96 | |
| 4,41 | 3,55 | 3,16 | 2,93 | 2,77 | 2,66 | 2,51 | 2,34 | 2,15 | 1,92 | |
| 4,38 | 3,52 | 3,13 | 2,90 | 2,74 | 2,63 | 2,48 | 2,31 | 2,11 | 1,88 | |
| 4,35 | 3,49 | 3,10 | 2,87 | 2,71 | 2,60 | 2,45 | 2,28 | 2,08 | 1,84 | |
| 4,32 | 3,47 | 3,07 | 2,84 | 2,68 | 2,57 | 2,42 | 2,25 | 2,05 | 1,81 | |
| 4,30 | 3,44 | 3,05 | 2,82 | 2,66 | 2,55 | 2,40 | 2,23 | 2,03 | 1,78 | |
| 4,28 | 3,42 | 3,03 | 2,80 | 2,64 | 2,53 | 2,38 | 2,20 | 2,00 | 1,76 | |
| 4,26 | 3,40 | 3,01 | 2,78 | 2,62 | 2,51 | 2,36 | 2,18 | 1,98 | 1,73 | |
| 4,24 | 3,38 | 2,99 | 2,76 | 2,60 | 2,49 | 2,34 | 2,16 | 1,96 | 1,71 | |
| 4,22 | 3,37 | 2,98 | 2,74 | 2,59 | 2,47 | 2,32 | 2,15 | 1,95 | 1,69 | |
| 4,21 | 3,35 | 2,96 | 2,73 | 2,57 | 2,46 | 2,30 | 2,13 | 1,93 | 1,67 | |
| 4,20 | 3,34 | 2,95 | 2,71 | 2,56 | 2,44 | 2,29 | 2,12 | 1,91 | 1,65 | |
| 4,18 | 3,33 | 2,93 | 2,70 | 2,54 | 2,43 | 2,28 | 2,10 | 1,90 | 1,64 | |
| 4,17 | 3,32 | 2,92 | 2,69 | 2,53 | 2,42 | 2,27 | 2,09 | 1,89 | 1,62 | |
| 4,08 | 3,23 | 2,84 | 2,61 | 2,45 | 2,34 | 2,18 | 2,00 | 1,79 | 1,52 | |
| 4,00 | 3,15 | 2,76 | 2,52 | 2,37 | 2,25 | 2,10 | 1,92 | 1,70 | 1,39 | |
| 3,92 | 3,07 | 2,68 | 2,45 | 2,29 | 2,17 | 2,02 | 1,88 | 1,61 | 1,25 |
