В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.
Навигация по странице.
Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .
Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .
Определение.
Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .
Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде 
, эта запись означает, что , если a>0
, , если a=0
, и , если a<0
.
Запись можно представить в более компактной форме 
. Эта запись означает, что , если (a
больше или равно 0
), и , если a<0
.
Также имеет место и запись 
. Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0
. В этом случае имеем , но −0=0
, так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.
Приведем примеры нахождения модуля числа
с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15
и . Начнем с нахождения . Так как число 15
– положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу 
. Таким образом, .
В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.
Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .
Определение.
Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.
Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.
Например, модуль числа 9
равен 9
, так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9
равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25
находится от точки O
на расстоянии 3,25
, поэтому 
.
Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.
Определение.
Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .
То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.
Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .
Для примера вычислим модули чисел −30
и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: 
.
Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a
– положительное число, при этом число −a
– отрицательное. Тогда 
и 
, если же a=0
, то 
.
Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.
Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.
Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.
Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.
Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
Модуль частного от деления a
на b
равен частному от деления модуля числа a
на модуль числа b
, то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем 
. Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.
Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: 
, a
, b
и c
– произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника
. Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a)
, B(b)
, C(c)
на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС
, у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ
, - длине отрезка АС
, а - длине отрезка СВ
. Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство 
, следовательно, справедливо и неравенство .
Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде 
. Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел
». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b
положить −b
, и принять c=0
.
Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.
Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :
Ну что, попробуем? Оценим:
(Забыл, Повтори.)
Если, то какой знак имеет? Ну конечно, !
А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
Разобрался? Тогда попробуй сам:
Ответы:
Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.
Например:
Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
при условии, что (так как на ноль делить нельзя).
Стоит запомнить ещё одно свойство модуля:
Почему так? Всё очень просто!
Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению.
Рассмотрим на примере:
Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:
Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.
Что если перед нами такое выражение:
Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что, а значит.
Число больше нуля, а значит можно просто записать:
А чему равно такое выражение:
Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?
Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему . И что же получается? А вот что:
Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:
Ну, и почему сомнения? Действуем смело!
1. Найдите значение выражения, если.
2. У каких чисел модуль равен?
3. Найдите значение выражений:
Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:
Решение 1 :
Итак, подставим значения и в выражение
Решение 2:
Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и.
Решение 3:
а)
б)
в)
г)
Попробуем упростить выражение
Решение:
Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное , то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.
Но если под знаком модуля отрицательное число , то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «-»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.
Получается, значение первого выражения под модулем.
Следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.
Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго - положительно:
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «-». Вот так:
Во втором случае просто отбросим знак модуля:
Упростим данное выражение целиком:
Определение:
Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:
Например:
Пример:
Упростите выражение.
Решение:
Для всех:
Пример:
Докажите свойство №5 .
Доказательство:
Предположим, что существуют такие, что
Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны ):
а это противоречит определению модуля.
Следовательно, таких не существует, а значит, при всех выполняется неравенство
Примеры для самостоятельного решения:
1) Докажите свойство №6 .
2) Упростите выражение.
Ответы:
1) Воспользуемся свойством №3 : , а поскольку, тогда
Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?
a. Сравним числа и и:
b. Теперь сравним и:
Складываем значения модулей:
Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:
Свойства модуля:
Познакомить школьников с таким математическим понятием, как модуль числа;
Научить школьников навыкам нахождения модулей чисел;
Закрепить изученный материал с помощью выполнения различных заданий;
Закрепить знания детей о модуле числа;
С помощью решения тестовых заданий проверить, как усвоили ученики изученный материал;
Продолжать прививать интерес к урокам математики;
Воспитывать у школьников логическое мышление, любознательность и усидчивость.
1. Общие понятия и определение модуля числа.
2. Геометрический смысл модуля.
3. Модуль числа его свойства.
4. Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа.
5. Историческая справка о термине «модуль числа».
6. Задание на закрепление знаний пройденной темы.
7. Домашнее задание.
Модулем числа принято называть само число, если оно не имеет отрицательного значения, или это же число отрицательное, но с противоположным знаком.
То есть, модулем неотрицательного действительного числа a является само это число:
А, модулем отрицательного действительного числа х будет противоположное число:
В записи это будет выглядеть так:
Для более доступного понимания приведем пример. Так, например, модулем числа 3 будет 3, и также модулем числа -3, является 3.
Из этого следует, что под модулем числа подразумевается абсолютная величина, то есть, ее абсолютное значение, но без учета его знака. Если говорить еще более просто, то необходимо от числа отбросить знак.
Обозначаться и выглядеть модуль числа может так: |3|, |х|, |а| и т.д.
Так, например, модуль числа 3 обозначается |3|.
Также, следует помнить, что модуль числа никогда не бывает отрицательным: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 и т.д.
Модулем числа называют расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до точки. В этом определении раскрывается модуль с геометрической точки зрения.
Возьмем координатную прямую и обозначим на ней две точки. Пускай этим точкам будут соответствовать такие числа, как −4 и 2.
Теперь давайте обратим внимание на данный рисунок. Мы видим, что обозначенная на координатной прямой точка А соответствует числу -4 и если вы внимательно посмотрите, то увидите, что эта точка находится от точки отсчета 0 на расстоянии 4 единичных отрезков. Отсюда следует, что длина отрезка OA равняется четырем единицам. В этом случае, длина отрезка ОА, то есть число 4 будет модулем числа -4.
Обозначается и записывается в данном случае модуль числа таким образом: |−4| = 4.
Теперь возьмем, и на координатной прямой обозначим точку В.
Эта точка В будет соответствовать числу +2, и находится она, как мы видим, от начала отсчета на расстоянии двух единичных отрезков. Из этого следует, что длина отрезка OB равняется двум единицам. В этом случае число 2 будет модулем числа +2.
В записи это будет выглядеть так: |+2| = 2 или |2| = 2.
А теперь подведем итог. Если мы с вами возьмем какое-то неизвестное число а и обозначим его на координатной прямой точкой А, то в этом случае расстояние от точки A до начала отсчёта, то есть длинна отрезка ОА, как раз и является модулем числа «a».
В записи это будет выглядеть так: |a| = OA.
А теперь давайте попробуем выделить свойства модуля, рассмотреть всевозможные случаи и записать их с помощью буквенных выражений:
Во-первых, модулем числа является число неотрицательное, а значит модуль положительного числа, равен самому числу: |a| = a, если a > 0;
Во-вторых, модули, которые состоят из противоположных чисел, равны: |а| = |–а|. То есть это свойство говорит нам о том, что противоположные числа всегда имеют равные модули, та как на координатной прямой, хотя они и имеют противоположные числа, но они находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета. Из этого следует, что и модули этих противоположных чисел равны.
В-третьих, модуль нуля равняется нулю в том случае, если это число является нулем: |0| = 0, если a = 0. Здесь можно с уверенностью сказать, что модулем нуля является ноль по определению, так как ему соответствует начало отсчета координатной прямой.
Четвертым свойством модуля является то, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел. Теперь подробнее рассмотрим, что это значит. Если следовать определению, то мы с вами знаем, что модуль произведения чисел a и b будет равен a b, или −(a b), если, а в ≥ 0, или же – (а в), если, а в больше 0. В записи это будет выглядеть так: |а b| = |а| |b|.
Пятым свойством является то, что модуль частного от деления чисел равен отношению модулей этих чисел: |а: b| = |а| : |b|.
И следующие свойства модуля числа:
Приступив к решению задач, которые имеют модуль числа, следует помнить, что чтобы решить такое задание, необходимо раскрыть знак модуля, используя знания свойств, которым эта задача соответствует.
Задание 1
Так, к примеру, если под знаком модуля стоит выражение, которое зависит от переменной, то раскрывать модуль следует в соответствии с определением:
Конечно же, при решении задач бывают случаи, когда модуль раскрывается однозначно. Если, например, взять
, здесь мы видим, что такое выражение под знаком модуля неотрицательно при любых значениях х и у.
Или, же для примера берем
, мы видим, что это выражение под модулем не положительно при любых значениях z.
Задание 2
Перед вами изображена координатная прямая. На этой прямой необходимо отметить числа, модуль которых будет равен 2.
Решение
В первую очередь, мы должны начертить координатную прямую. Вам уже известно, что для этого, вначале на прямой необходимо выбрать начало отсчета, направление и единичный отрезок. Далее, нам нужно от начала отсчета поставить точки, которые равны расстоянию двух единичных отрезков.
Как видим, таких точек на координатной прямой две, одна из которых соответствует числу -2, а другая числу 2.
Термин «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера». Ввел в обращение этот термин английский математик Роджер Котес. А вот знак модуля был введен благодаря немецкому математику Карлу Вейерштрассу. При написании модуль обозначается с помощью такого символа: | |.
На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с таким понятием, как модуль числа, а теперь давайте проверим, как вы усвоили эту тему, ответив на поставленные вопросы:
1. Как называется число, которое противоположно положительному числу?
2. Какое название носит число, которое противоположно отрицательному числу?
3. Назовите число, которое является противоположным нулю. Существует ли такое число?
4. Назовите то число, которое не может являться модулем числа.
5. Дайте определение модулю числа.
1. Перед вами изображены числа, которые вам нужно расположить в порядке убывания модулей. Если вы правильно выполните задание, то узнаете фамилию человека, который впервые ввел в математику термин «модуль».
2. Начертите координатную прямую и найдите расстояние от М(-5) и К (8) до начала отсчета.
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |5|, |х |, |а | и т.д.
Правило :
Пояснение :
|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.
|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.
|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.
Свойства модуля:
1) Модуль числа есть неотрицательное число: |а | ≥ 0 2) Модули противоположных чисел равны: |а | = |–а | 3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |а | 2 = a 2 4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел: |а · b | = |а | · |b | 6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел: |а : b | = |а | : |b | 7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей: |а + b | ≤ |а | + |b | 8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей: |а – b | ≤ |а | + |b | 9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей: |а ± b | ≥ ||а | – |b || 10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля: |m · a | = m · |а |, m >0 11) Степень числа можно вынести за знак модуля: |а k | = |а | k , если а k существует 12) Если |а | = |b |, то a = ± b |
Геометрический смысл модуля.
Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.
Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.
На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.
Пример 1 . Решить уравнение |х – 1| = 3.
Решение .
Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х
и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х
:
х
1 = –2, х
2 = 4.
Можем и вычислить.
│х
– 1 = 3
│х
– 1 = –3
│х
= 3 + 1
│х
= –3 + 1
│х
= 4
│ х
= –2.
Ответ : х 1 = –2; х 2 = 4.
Пример 2 . Найти модуль выражения:
Решение .
Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:
3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45
10 = √100.
Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:
3√5 – 10 < 0.
Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Ответ .
Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.
Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.
Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.
Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.
Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:
Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .
Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:
|7| - это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7
|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5
Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!
Решим уравнение: |х |=4
Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.
Отсюда ответ х=±4.
При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х <0.
Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).
Важно, чтобы вы это четко видели, если пока не получается, нарисуйте на бумаге и посмотрите, чтобы эта иллюстрация была вам полностью понятна, не поленитесь и попробуйте в уме увидеть решения следующих заданий:
|х |=11, х=? |х|=-5, х=?
|х | <8, х-? |х| <-6, х-?
|x |>2, х-? |x|> -3, х-?
|π-3|=? |-х²-10|=?
|√5-2|=? |2х-х²-3|=?
|х²+2|=? |х²+4|=0
|х²+3х+4|=? |-х²+9| ≤0
Обратили внимание на странные задания во втором столбце? Действительно, расстояние не может быть отрицательным поэтому: |х|=-5- не имеет решений, конечно же оно не может быть и меньше 0, поэтому: |х| <-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|> -3 являются все числа.
После того как вы научитесь быстро видеть рисунки с решениями читайте дальше.
