Вы уже знаете, что между всеми телами действуют силы притяжения, называемые силами всемирного тяготения .
Их действие проявляется, например, в том, что тела падают на Землю, Луна вращается вокруг Земли, а планеты вращаются вокруг Солнца. Если бы силы тяготения исчезли, Земля улетела бы от Солнца (рис. 14.1).
Закон всемирного тяготения сформулировал во второй половине 17-го века Исаак Ньютон.
Две материальные точки массой m 1 и m 2 находящиеся на расстоянии R, притягиваются с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними
. Модуль каждой силы
Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной . (От латинского «гравитас» - тяжесть.) Измерения показали, что
G = 6,67 * 10 -11 Н * м 2 /кг 2 . (2)
Закон всемирного тяготения раскрывает еще одно важное свойство массы тела: она является мерой не только инертности тела, но и его гравитационных свойств.
1. Чему равны силы притяжения двух материальных точек массой 1 кг каждая, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга? Во сколько раз эта сила больше или меньше веса комара, масса которого 2,5 мг?
Столь малое значение гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем гравитационного притяжения между окружающими нас предметами.
Силы тяготения заметно проявляют себя только тогда, когда хотя бы одно из взаимодействующих тел имеет огромную массу – например, является звездой или планетой.
3. Как изменится сила притяжения между двумя материальными точками, если расстояние между ними увеличить в 3 раза?
4. Две материальные точки массой m каждая притягиваются с силой F. С какой силой притягиваются материальные точки массой 2m и Зm, находящиеся на таком же расстоянии?
Расстояние от Солнца до любой планеты во много раз больше размеров Солнца и планеты. Поэтому при рассмотрении движения планет их можно считать материальными точками. Следовательно, сила притяжения планеты к Солнцу
где m – масса планеты, M С – масса Солнца, R – расстояние от Солнца до планеты.
Будем считать, что планета движется вокруг Солнца равномерно по окружности. Тогда скорость движения планеты можно найти, если учесть, что ускорение планеты a = v 2 /R обусловлено действием силы F притяжения Солнца и тем, что согласно второму закону Ньютона F = ma.
5. Докажите, что скорость планеты
чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость планеты .
6. Радиус орбиты Сатурна примерно в 9 раз больше радиуса орбиты Земли. Найдите устно, чему примерно равна скорость Сатурна, если Земля движется по своей орбите со скоростью 30 км/с?
За время, равное одному периоду обращения T, планета, двигаясь со скоростью v, проходит путь, равный длине окружности радиуса R.
7. Докажите, что период обращения планеты
Из этой формулы следует, что чем больше радиус орбиты, тем больше период обращения планеты .
9. Докажите, что для всех планет Солнечной системы
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (5).
Из формулы (6) следует, что для всех планет Солнечной системы отношение куба радиуса орбиты к квадрату периода обращения одинаково
. Эту закономерность (ее называют третьим законом Кеплера) обнаружил немецкий ученый Иоганн Кеплер на основании результатов многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге.
Ньютон доказал, что формулу
F = G(m 1 m 2 /R 2)
для силы притяжения двух материальных точек можно применять также:
– для однородных шаров и сфер (R – расстояние между центрами шаров или сфер, рис. 14.2, а);
– для однородного шара (сферы) и материальной точки (R – расстояние от центра шара (сферы) до материальной точки, рис. 14.2, б).
Второе из приведенных выше условий означает, что по формуле (1) можно найти силу притяжения тела любой формы к однородному шару, который намного больше этого тела. Поэтому по формуле (1) можно рассчитать силу притяжения к Земле тела, находящегося на ее поверхности (рис. 14.3, а). Мы получим выражение для силы тяжести:
(Земля не является однородным шаром, но ее можно считать сферически симметричной. Этого достаточно для возможности применения формулы (1).)
10. Докажите, что вблизи поверхности Земли
Где M Зем – масса Земли, R Зем – ее радиус.
Подсказка. Используйте формулу (7) и то, что F т = mg.
Пользуясь формулой (1), можно найти ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли (рис. 14.3, б).
11. Докажите, что
12. Чему равно ускорение свободного падения на высоте над поверхностью Земли, равной ее радиусу?
13. Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности Луны меньше, чем на поверхности Земли?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (8), в которой массу и радиус Земли замените на массу и радиус Луны.
14. Радиус звезды белый карлик может быть равен радиусу Земли, а ее масса – равной массе Солнца. Чему равен вес килограммовой гири на поверхности такого «карлика»?
Представим себе, что на очень высокой горе установили огромную пушку и стреляют из нее в горизонтальном направлении (рис. 14.4).
Чем больше начальная скорость снаряда, тем дальше он упадет. Он не упадет вообще, если подобрать его начальную скорость так, чтобы он двигался вокруг Земли по окружности. Летя по круговой орбите, снаряд станет тогда искусственным спутником Земли.
Пусть наш снаряд-спутник движется по низкой околоземной орбите (так называют орбиту, радиус которой можно принять равным радиусу Земли R Зем).
При равномерном движении по окружности спутник движется с центростремительным ускорением a = v2/RЗем, где v – скорость спутника. Это ускорение обусловлено действием силы тяжести. Следовательно, спутник движется с ускорением свободного падения, направленным к центру Земли (рис. 14.4). Поэтому a = g.
15. Докажите, что при движении по низкой околоземной орбите скорость спутника
Подсказка. Воспользуйтесь формулой a = v 2 /r для центростремительного ускорения и тем, что при движении по орбите радиуса R Зем ускорение спутника равно ускорению свободного падения.
Скорость v 1 , которую необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось под действием силы тяжести по круговой орбите вблизи поверхности Земли, называют первой космической скоростью. Она примерно равна 8 км/с.
16. Выразите первую космическую скорость через гравитационную постоянную, массу и радиус Земли.
Подсказка. В формуле, полученной при выполнении предыдущего задания, замените массу и радиус Земли на массу и радиус Луны.
Чтобы тело навсегда покинуло окрестности Земли, ему надо сообщить скорость, равную примерно 11,2 км/с. Ее называют второй космической скоростью.
Если считать известными ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, массу и радиус Земли, то значение гравитационной постоянной G можно легко определить с помощью формулы (7). Проблема, однако, в том, что до конца 18-го века массу Земли измерить не удавалось.
Поэтому, чтобы найти значение гравитационной постоянной G, надо было измерить силу притяжения двух тел известной массы, находящихся на определенном расстоянии друг от друга. В конце 18-го века такой опыт смог поставить английский ученый Генри Кавендиш.
Он подвесил на тонкой упругой нити легкий горизонтальный стержень с небольшими металлическими шарами a и b и по углу поворота нити измерил силы притяжения, действующие на эти шары со стороны больших металлических шаров А и В (рис. 14.5). Малые углы поворота нити ученый измерял по смещению «зайчика» от прикрепленного к нити зеркальца.
Этот опыт Кавендиша образно назвали «взвешиванием Земли», потому что этот опыт впервые позволил измерить массу Земли.
18. Выразите массу Земли через G, g и R Зем.
19. Два корабля массой 6000 т каждый притягиваются с силами по 2 мН. Каково расстояние между кораблями?
20. С какой силой Солнце притягивает Землю?
21. С какой силой человек массой 60 кг притягивает Солнце?
22. Чему равно ускорение свободного падения на расстоянии от поверхности Земли, равном ее диаметру?
23. Во сколько раз ускорение Луны, обусловленное притяжением Земли, меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли?
24. Ускорение свободного падения на поверхности Марса в 2,65 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли. Радиус Марса приближенно равен 3400 км. Во сколько раз масса Марса меньше массы Земли?
25. Чему равен период обращения искусственного спутника Земли на низкой околоземной орбите?
26. Чему равна первая космическая скорость для Марса? Масса Марса 6,4 * 10 23 кг, а радиус 3400 км.
Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) - закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики . Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила F {\displaystyle F} гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m 1 {\displaystyle m_{1}} и m 2 {\displaystyle m_{2}} , разделёнными расстоянием r {\displaystyle r} , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними - то есть:
F = G ⋅ m 1 ⋅ m 2 r 2 {\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over r^{2}}}
Здесь G {\displaystyle G} - гравитационная постоянная , равная 6,67408(31)·10 −11 м³/(кг·с²) .
1 / 5
✪ Введение в закон всемирного тяготения Ньютона
✪ Закон Всемирного тяготения
✪ физика ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 9 класс
✪ Про Исаака Ньютона (Краткая история)
✪ Урок 60. Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная
Теперь немного узнаем о тяготении, или гравитации. Как вы знаете, тяготение, особенно в начальном или даже в довольно углубленном курсе физики - это такое понятие, которое можно вычислить и узнать основные параметры, которыми оно обусловлено, но на самом деле тяготение не вполне поддается пониманию. Пусть даже вы знакомы с общей теорией относительности - если вас спросят, что такое тяготение, вы можете ответить: это искривление пространства-времени и тому подобное. Однако все равно трудно получить интуитивное представление, по какой причине два объекта, только лишь потому, что у них есть так называемая масса, притягиваются друг к другу. По крайней мере, для меня это мистика. Отметив это, приступим к рассмотрению понятия о тяготении. Будем делать это, изучая закон всемирного тяготения Ньютона, справедливый для большинства ситуаций. Этот закон гласит: сила взаимного гравитационного притяжения F между двумя материальными точками, обладающими массами m₁ и m₂, равна произведению гравитационной постоянной G на массу первого объекта m₁ и второго объекта m₂, деленному на квадрат расстояния d между ними. Это довольно несложная формула. Попробуем преобразовать ее и посмотрим, нельзя ли получить какие-то хорошо знакомые нам результаты. Используем эту формулу для расчета ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли. Давайте нарисуем сперва Землю. Просто чтобы понимать, о чем мы с вами говорим. Это наша Земля. Допустим, нам надо вычислить гравитационное ускорение, действующее на Сэла, то есть на меня. Вот он я. Попытаемся применить это уравнение для расчета величины ускорения моего падения к центру Земли, или к центру масс Земли. Величина, обозначенная заглавной буквой G - это универсальная гравитационная постоянная. Еще раз: G - это универсальная гравитационная постоянная. Хотя, насколько я знаю, хоть я и не эксперт в этом вопросе, мне кажется, ее значение может меняться, то есть это не настоящая постоянная, и я предполагаю, что при разных измерениях ее величина различается. Но для наших потребностей, а также в большинстве курсов физики, это постоянная, константа, равная 6,67 * 10^(−11) кубических метров, деленных на килограмм на секунду в квадрате. Да, ее размерность выглядит странно, но вам достаточно понять, что это - условные единицы, необходимые, чтобы в результате умножения на массы объектов и деления на квадрат расстояния получить размерность силы - ньютон, или килограмм на метр, деленный на секунду в квадрате. Так что об этих единицах измерения не стоит беспокоиться: просто знайте, что нам придется работать с метрами, секундами и килограммами. Подставим это число в формулу для силы: 6,67 * 10^(−11). Поскольку нам нужно знать ускорение, действующее на Сэла, то m₁ равна массе Сэла, то есть меня. Не хотелось бы разоблачать в этом сюжете, сколько я вешу, так что оставим эту массу переменной, обозначив ms. Вторая масса в уравнении - это масса Земли. Выпишем ее значение, заглянув в Википедию. Итак, масса Земли равна 5,97 * 10^24 килограммов. Да, Земля помассивнее Сэла. Кстати, вес и масса - разные понятия. Итак, сила F равна произведению гравитационной постоянной G на массу ms, затем на массу Земли, и все это делим на квадрат расстояния. Вы можете возразить: какое же расстояние между Землей и тем, что на ней стоит? Ведь если предметы соприкасаются, расстояние равно нулю. Здесь важно понять: расстояние между двумя объектами в данной формуле - это расстояние между их центрами масс. В большинстве случаев центр масс человека расположен примерно в трех футах над поверхностью Земли, если человек не слишком высокий. Как бы там ни было, мой центр масс может находиться на высоте три фута над землей. А где центр масс Земли? Очевидно, в центре Земли. А радиус Земли у нас равен чему? 6371 километр, или примерно 6 миллионов метров. Поскольку высота моего центра масс составляет около одной миллионной расстояния до центра масс Земли, то в данном случае ею можно пренебречь. Тогда расстояние будет равно 6 и так далее, как и все остальные величины, нужно записать его в стандартном виде - 6,371 * 10^6, поскольку 6000 км - это 6 миллионов метров, а миллион - это 10^6. Пишем, округляя все дроби до второго знака после запятой, расстояние равно 6,37 * 10^6 метров. В формуле стоит квадрат расстояния, поэтому возведем все в квадрат. Попробуем теперь упростить. Вначале перемножим величины в числителе и вынесем вперед переменную ms. Тогда сила F равна массе Сэла на всю верхнюю часть, вычислим ее отдельно. Итак, 6,67 умножить на 5,97 равно 39,82. 39,82. Это произведение значащих частей, которое теперь следует умножить на 10 в нужной степени. 10^(−11) и 10^24 имеют одинаковое основание, поэтому для их перемножения достаточно сложить показатели степени. Сложив 24 и −11, получим 13, в итоге имеем 10^13. Найдем знаменатель. Он равен 6,37 в квадрате, умноженное на 10^6 также в квадрате. Как вы помните, если число, записанное в виде степени, возводится в другую степень, то показатели степеней перемножаются, а значит, 10^6 в квадрате равно 10 в степени 6, умноженной на 2, или 10^12. Далее вычислим квадрат числа 6,37 с помощью калькулятора и получим… Возводим 6,37 в квадрат. И это 40,58. 40,58. Осталось разделить 39,82 на 40,58. Делим 39,82 на 40,58, что равняется 0,981. Потом делим 10^13 на 10^12, что равно 10^1, или просто 10. А 0,981, умноженное на 10, это 9,81. После упрощения и несложных расчетов получили, что сила тяготения вблизи поверхности Земли, действующая на Сэла, равна массе Сэла, умноженной на 9,81. Что нам это дает? Можно ли теперь вычислить гравитационное ускорение? Известно, что сила равна произведению массы на ускорение, поэтому и сила тяготения просто равна произведению массы Сэла на гравитационное ускорение, которое принято обозначать строчной буквой g. Итак, с одной стороны, сила притяжения равна числу 9,81, умноженному на массу Сэла. С другой, она же равна массе Сэла на гравитационное ускорение. Разделив обе части равенства на массу Сэла, получим, что коэффициент 9,81 и есть гравитационное ускорение. И если бы мы включили в расчеты полную запись единиц размерности, то, сократив килограммы, увидели бы, что гравитационное ускорение измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате, как и любое ускорение. Также можно заметить, что полученное значение очень близко к тому, которое мы использовали при решении задач о движении брошенного тела: 9,8 метров в секунду в квадрате. Это впечатляет. Решим еще одну короткую задачу на тяготение, потому что у нас осталось пара минут. Предположим, у нас есть другая планета под названием Земля Малышка. Пусть радиус Малышки rS вдвое меньше радиуса Земли rE, и ее масса mS также равна половине массы Земли mE. Чему будет равна сила тяжести, действующая здесь на какой-либо объект, и насколько она меньше силы земного тяготения? Хотя, давайте оставим задачу на следующий раз, потом ее решу. До встречи. Subtitles by the Amara.org community
В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, которое называется гравитационным полем . Это поле потенциально , и функция гравитационного потенциала для материальной точки с массой M {\displaystyle M} определяется формулой:
φ (r) = − G M r . {\displaystyle \varphi (r)=-G{\frac {M}{r}}.}В общем случае, когда плотность вещества ρ {\displaystyle \rho } распределена произвольно, удовлетворяет уравнению Пуассона :
Δ φ = − 4 π G ρ (r) . {\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho (r).}Решение этого уравнения записывается в виде:
φ = − G ∫ ρ (r) d V r + C , {\displaystyle \varphi =-G\int {\frac {\rho (r)dV}{r}}+C,}где r {\displaystyle r} - расстояние между элементом объёма d V {\displaystyle dV} и точкой, в которой определяется потенциал φ {\displaystyle \varphi } , C {\displaystyle C} - произвольная постоянная.
Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m {\displaystyle m} , связана с потенциалом формулой:
F (r) = − m ∇ φ (r) . {\displaystyle F(r)=-m\nabla \varphi (r).}Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.
Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера . В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам . Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений .
Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности . Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали , что приращение δ {\displaystyle \delta } в выражении для зависимости ньютоновского потенциала r − (1 + δ) {\displaystyle r^{-(1+\delta)}} на расстояниях нескольких метров находится в пределах (2 , 1 ± 6 , 2) ∗ 10 − 3 {\displaystyle (2,1\pm 6,2)*10^{-3}} . Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения .
Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено .
Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой Луны подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью 3 ⋅ 10 − 11 {\displaystyle 3\cdot 10^{-11}} .
Факт равенства с очень высокой точностью 10 − 9 {\displaystyle 10^{-9}} показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу 2 {\displaystyle 2} отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса
Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур , Гассенди , Кеплер , Борелли , Декарт , Роберваль , Гюйгенс и другие . Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире . Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда , Рена и Гука . Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).
В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел, тем самым создавая основы небесной механики . До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.
Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической . Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.
В течение XVIII века закон всемирного тяготения был предметом активной дискуссии (против него выступали сторонники школы Декарта) и тщательных проверок. К концу века стало общепризнано, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Генри Кавендиш в 1798 году осуществил прямую проверку справедливости закона тяготения в земных условиях, используя исключительно чувствительные крутильные весы . Важным этапом стало введение Пуассоном в 1813 году понятия гравитационного потенциала и уравнения Пуассона для этого потенциала; эта модель позволяла исследовать гравитационное поле при произвольном распределении вещества . После этого ньютоновский закон стал рассматриваться как фундаментальный закон природы.
В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главная из них - необъяснимое дальнодействие : сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс . В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия .
На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году , с созданием общей теории относительности Эйнштейна , в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия , оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:
В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Для доказательства покажем, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона
Δ Φ = − 4 π G ρ {\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi G\rho } .Известно (Гравитационный потенциал), что в этом случае гравитационный потенциал имеет вид:
Φ = − 1 2 c 2 (g 44 + 1) {\displaystyle \Phi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)} .Найдем компоненту тензора энергии-импульса из уравнений гравитационного поля общей теории относительности:
R i k = − ϰ (T i k − 1 2 g i k T) {\displaystyle R_{ik}=-\varkappa (T_{ik}-{\frac {1}{2}}g_{ik}T)} ,где R i k {\displaystyle R_{ik}} - тензор кривизны . Для мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса ρ u i u k {\displaystyle \rho u_{i}u_{k}} . Пренебрегая величинами порядка u / c {\displaystyle u/c} , можно положить все компоненты T i k {\displaystyle T_{ik}} , кроме T 44 {\displaystyle T_{44}} , равными нулю. Компонента T 44 {\displaystyle T_{44}} равна T 44 = ρ c 2 {\displaystyle T_{44}=\rho c^{2}} и, следовательно T = g i k T i k = g 44 T 44 = − ρ c 2 {\displaystyle T=g^{ik}T_{ik}=g^{44}T_{44}=-\rho c^{2}} . Таким образом, уравнения гравитационного поля принимают вид R 44 = − 1 2 ϰ ρ c 2 {\displaystyle R_{44}=-{\frac {1}{2}}\varkappa \rho c^{2}} . Вследствие формулы
R i k = ∂ Γ i α α ∂ x k − ∂ Γ i k α ∂ x α + Γ i α β Γ k β α − Γ i k α Γ α β β {\displaystyle R_{ik}={\frac {\partial \Gamma _{i\alpha }^{\alpha }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{ik}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}+\Gamma _{i\alpha }^{\beta }\Gamma _{k\beta }^{\alpha }-\Gamma _{ik}^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }}значение компоненты тензора кривизны R 44 {\displaystyle R_{44}} можно взять равным R 44 = − ∂ Γ 44 α ∂ x α {\displaystyle R_{44}=-{\frac {\partial \Gamma _{44}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}} и так как Γ 44 α ≈ − 1 2 ∂ g 44 ∂ x α {\displaystyle \Gamma _{44}^{\alpha }\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x^{\alpha }}}} , R 44 = 1 2 ∑ α ∂ 2 g 44 ∂ x α 2 = 1 2 Δ g 44 = − Δ Φ c 2 {\displaystyle R_{44}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{\alpha }^{2}}}={\frac {1}{2}}\Delta g_{44}=-{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}} . Таким образом, приходим к уравнению Пуассона:
Δ Φ = 1 2 ϰ c 4 ρ {\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{2}}\varkappa c^{4}\rho } , где ϰ = − 8 π G c 4 {\displaystyle \varkappa =-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}}Однако и общая теория относительности не является окончательной теорией гравитации, так как неудовлетворительно описывает гравитационные процессы в квантовых масштабах (на расстояниях порядка планковского , около 1,6⋅10 −35 ). Построение непротиворечивой квантовой теории гравитации - одна из важнейших нерешённых задач современной физики.
С точки зрения квантовой гравитации, гравитационное взаимодействие осуществляется путём обмена виртуальными гравитонами между взаимодействующими телами. Согласно принципу неопределенности , энергия виртуального гравитона обратно пропорциональна времени его существования от момента излучения одним телом до момента поглощения другим телом. Время существования пропорционально расстоянию между телами. Таким образом, на малых расстояниях взаимодействующие тела могут обмениваться виртуальными гравитонами с короткими и длинными длинами волн, а на больших расстояниях только длинноволновыми гравитонами. Из этих соображений можно получить закон обратной пропорциональности ньютоновского потенциала от расстояния. Аналогия между законом Ньютона и законом Кулона объясняется тем, что масса гравитона, как и масса
Закон всемирного тяготения открыл Ньютон в 1687 году при изучении движения спутника Луны вокруг Земли. Английский физик четко сформулировал постулат, характеризующий силы притяжения. Кроме того, анализируя законы Кеплера, Ньютон вычислил, что силы притяжения должны существовать не только на нашей планете, но и в космосе.
Закон всемирного тяготения родился не спонтанно. Издревле люди изучали небосвод, главным образом для составления сельскохозяйственных календарей, вычисления важных дат, религиозных праздников. Наблюдения указывали, что в центре «мира» находится Светило (Солнце), вокруг которого по орбитам вращаются небесные тела. Впоследствии догматы церкви не позволяли так считать, и люди утратили накапливавшиеся тысячелетиями знания.
В 16 веке, до изобретения телескопов, появилась плеяда астрономов, взглянувших на небосвод по-научному, отбросив запреты церкви. Т. Браге, многие годы наблюдая за космосом, с особой тщательностью систематизировал перемещения планет. Эти высокоточные данные помогли И. Кеплеру впоследствии открыть три своих закона.
К моменту открытия (1667 г.) Исааком Ньютоном закона тяготения в астрономии окончательно утвердилась гелиоцентрическая система мира Н. Коперника. Согласно ей, каждая из планет системы вращается вокруг Светила по орбитам, которые с приближением, достаточным для многих расчетов, можно считать круговыми. В начале XVII в. И. Кеплер, анализируя работы Т. Браге, установил кинематические законы, характеризующие движения планет. Открытие стало фундаментом для выяснения динамики движения планет, то есть сил, которые определяют именно такой вид их движения.
В отличие от короткопериодных слабых и сильных взаимодействий, гравитация и электромагнитные поля имеют свойства дальнего действия: их влияние проявляется на гигантских расстояниях. На механические явления в макромире воздействуют 2 силы: электромагнитная и гравитационная. Воздействие планет на спутники, полет брошенного или запущенного предмета, плавание тела в жидкости - в каждом из этих явлений действуют гравитационные силы. Эти объекты притягиваются планетой, тяготеют к ней, отсюда и название «закон всемирного тяготения».
Доказано, что между физическими телами безусловно действует сила взаимного притяжения. Такие явления, как падение объектов на Землю, вращение Луны, планет вокруг Солнца, происходящие под действием сил всемирного притяжения, называют гравитационными.
Всемирное тяготение формулируется следующим образом: два любых материальных объекта друг к другу притягиваются с определенной силой. Величина этой силы прямо пропорциональна произведению масс этих объектов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
В формуле m1 и m2 являются массами исследуемых материальных объектов; r - расстояние, определяемое между центрами масс расчетных объектов; G - постоянная гравитационная величина, выражающая силу, с которой осуществляется взаимное притяжение двух объектов массой по 1 кг каждый, располагающихся между собой на расстоянии 1 м.
Закон всемирного тяготения по-разному действует, в зависимости от региона. Так как сила притяжения зависит от значений широты на определенной местности, то аналогично ускорение свободного падения обладает разными значениями в разных местах. Максимальное значение сила тяжести и, соответственно, ускорение свободного падения имеют на полюсах Земли - сила тяжести в этих точках равна силе притяжения. Минимальными значения будут на экваторе.
Земной шар слегка сплюснут, его полярный радиус меньше экваториального примерно на 21,5 км. Однако эта зависимость менее существенная по сравнению с суточным вращением Земли. Расчеты показывают, что из-за сплюснутости Земли на экваторе величина ускорения свободного падения чуть меньше его значения на полюсе на 0,18%, а через суточное вращение - на 0,34%.
Впрочем, в одном и том же месте Земли угол между векторами направления мал, поэтому расхождение между силой притяжения и силой тяжести незначительно, и ею в расчетах можно пренебречь. То есть можно считать, что модули этих сил одинаковы - ускорение свободного падения около поверхности Земли везде одинаковое и равно приблизительно 9,8 м/с².
Исаак Ньютон был ученым, который совершил научную революцию, полностью перестроил принципы динамики и на их основе создал научную картину мира. Его открытие повлияло на развитие науки, на создание материальной и духовной культуры. На судьбу Ньютона выпала задача пересмотреть результаты представления о мире. В XVII в. ученым завершена грандиозная работа построения фундамента новой науки - физики.
Между любыми телами в природе существует сила взаимного притяжения, называемая силой всемирного тяготения (или силами гравитации). был открыт Исааком Ньютоном в 1682 году. Когда еще ему было 23 года он высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю.
Сила тяжести (mg ) направлена вертикально строго к центру Земли ; в зависимости от расстояния до поверхности земного шара ускорение свободного падения различно. У поверхности Земли в средних широтах значение его составляет около 9,8 м/с 2 . по мере удаления от поверхности Земли g уменьшается.
Вес тела (сила веса) – это сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или растягивает подвес. При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса. Пусть тело лежит на неподвижном относительно Земли горизонтальном столе. Обозначается буквой Р .
Вес тела и сила тяжести отличаются по своей природе: вес тела является проявлением действия межмолекулярных сил, а сила тяжести имеет гравитационную природу.
Если ускорение а = 0 , то вес равен силе, с которой тело притягивается к Земле, а именно . [P] = Н .
Если другое состояние, то вес меняется:
В невесомости находятся и космонавты. В невесомости на мгновение оказываетесь и вы, когда подпрыгиваете во время игры в баскетбол или танца.
Домашний эксперимент: Пластиковая бутылка с отверстием у дна наполняется водой. Выпускаем из рук с некоторой высоты. Пока бутылка падает, вода из отверстия не вытекает.
Вес тела движущегося с ускорением (в лифте) Тело в лифте испытывает перегрузки
На вопрос «Что такое сила?» физика отвечает так: «Сила есть мера взаимодействия вещественных тел между собой или между телами и другими материальными объектами - физическими полями». Все силы в природе могут быть отнесены к четырем фундаментальным видам взаимодействий: сильному, слабому, электромагнитному и гравитационному. Наша статья рассказывает о том, что представляют собой гравитационные силы - мера последнего и, пожалуй, наиболее широко распространенного в природе вида этих взаимодействий.
Всем живущим известно, что существует сила, которая притягивает объекты к земле. Она обычно именуется гравитацией, силой тяжести или земным притяжением. Благодаря ее наличию у человека возникли понятия «верх» и «низ», определяющие направление движения или расположения чего-либо относительно земной поверхности. Так в частном случае, на поверхности земли или вблизи нее, проявляют себя гравитационные силы, которые притягивают объекты, обладающие массой, друг к другу, проявляя свое действие на любых как самых малых, так и очень больших, даже по космическим меркам, расстояниях.
Как известно, любая сила, если она рассматривается как мера взаимодействия физических тел, всегда приложена к какому-нибудь из них. Так и в гравитационном взаимодействии тел друг с другом, каждое из них испытывает такие виды гравитационных сил, которые вызваны влиянием каждого из них. Если тел всего два (предполагается, что действием всех других можно пренебречь), то каждое из них по третьему закону Ньютона будет притягивать другое тело с одинаковой силой. Так Луна и Земля притягивают друг друга, следствием чего являются приливы и отливы земных морей.
Каждая планета в Солнечной системе испытывает сразу несколько сил притяжения со стороны Солнца и других планет. Конечно, определяет форму и размеры ее орбиты именно сила притяжения Солнца, но и влияние остальных небесных тел астрономы учитывают в своих расчетах траекторий их движения.
Главной особенностью этой силы является то, что все объекты падают на землю с одной скоростью, независимо от их массы. Когда-то, вплоть до 16-го ст., считалось, что все наоборот - более тяжелые тела должны падать быстрее, чем легкие. Чтобы развеять это заблуждение Галилео Галилею пришлось выполнить свой знаменитый опыт по одновременному сбрасыванию двух пушечных ядер разного веса с наклонной Пизанской башни. Вопреки ожиданиям свидетелей эксперимента оба ядра достигли поверхности одновременно. Сегодня каждый школьник знает, что это произошло благодаря тому, что сила тяжести сообщает любому телу одно и то же ускорение свободного падения g = 9,81 м/с 2 независимо от массы m этого тела, а величина ее по второму закону Ньютона равна F = mg.
Гравитационные силы на Луне и на других планетах имеют разные значения этого ускорения. Однако характер действия силы тяжести на них такой же.
Если первая сила приложена непосредственно к самому телу, то вторая к его опоре или подвесу. В этой ситуации на тела со стороны опор и подвесов всегда действуют силы упругости. Гравитационные силы, приложенные к тем же телам, действуют им навстречу.
Представьте себе груз, подвешенный над землей на пружине. К нему приложены две силы: сила упругости растянутой пружины и сила тяжести. Согласно третьему закону Ньютона груз действует на пружину с силой, равной и противоположной силе упругости. Эта сила и будет его весом. У груза массой 1 кг вес равен Р = 1 кг ∙ 9,81 м/с 2 = 9,81 Н (ньютон).
Первая количественная теория гравитации, основанная на наблюдениях движения планет, была сформулирована Исааком Ньютоном в 1687 году в его знаменитых "Началах натуральной философии". Он писал, что силы притяжения, которые действуют на Солнце и планеты, зависят от количества вещества, которое они содержат. Онираспространяются на большие расстояния и всегда уменьшаются как величины, обратные квадрату расстояния. Как же можно вычислить эти гравитационные силы? Формула для силы F между двумя объектами с массами m 1 и m 2 , находящимися на расстоянии r, такова:
Ньютон был не полностью удовлетворен своей теорией, поскольку она предполагала взаимодействие между притягивающимися телами на расстоянии. Сам великий англичанин был уверен, что должен существовать некий физический агент, ответственный за передачу действия одного тела на другое, о чем он вполне ясно высказался в одном из своих писем. Но время, когда было введено понятие гравитационного поля, которое пронизывает все пространство, наступило лишь через четыре столетия. Сегодня, говоря о гравитации, мы можем говорить о взаимодействии любого (космического) тела с гравитационным полем других тел, мерой которого и служат возникающие между каждой парой тел гравитационные силы. Закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном в вышеприведенной форме, остается верным и подтверждается множеством фактов.
Она была очень успешно применена к решению задач небесной механики во время XVIII и начале XIX века. К примеру, математики Д. Адамс и У. Леверье, анализируя нарушения орбиты Урана, предположили, что на него действуют гравитационные силы взаимодействия с еще неизвестной планетой. Ими было указано ее предполагаемое положение, и вскоре астрономом И. Галле там был обнаружен Нептун.
Хотя оставалась одна проблема. Леверье в 1845 году рассчитал, что орбита Меркурия прецессирует на 35"" за столетие, в отличие от нулевого значения этой прецессии, получаемого по теории Ньютона. Последующие измерения дали более точное значение 43"". (Наблюдаемая прецессия равна действительно 570""/век, но кропотливый расчет, позволяющий вычесть влияние от всех других планет, дает значение 43"".)
Только в 1915 г. Альберт Эйнштейн смог объяснить это несоответствие в рамках созданной им теории гравитации. Оказалось, что массивное Солнце, как и любое другое массивное тело, искривляет пространство-время в своей окрестности. Эти эффекты вызывают отклонения в орбитах планет, но у Меркурия, как самой малой и ближайшей к нашей звезде планете, они проявляются сильнее всего.
Как уже отмечалось выше, Галилей был первым, кто наблюдал, что объекты падают на землю с одинаковой скоростью, независимо от их массы. В формулах Ньютона понятие массы происходит от двух разных уравнений. Второй его закон говорит, что сила F, приложенная к телу с массой m, дает ускорение по уравнению F = ma.
Однако сила тяжести F, приложенная к телу, удовлетворяет формуле F = mg, где g зависит от другого тела, взаимодействующего с рассматриваемым (земли обычно, когда мы говорим о силе тяжести). В обоих уравнений m есть коэффициент пропорциональности, но в первом случае это инерционная масса, а во втором - гравитационная, и нет никакой очевидной причины, что они должны быть одинаковыми для любого физического объекта.
Однако все эксперименты показывают, что это действительно так.
Он взял факт равенства инерционной и гравитационной масс как отправную точку для своей теории. Ему удалось построить уравнения гравитационного поля, знаменитые уравнения Эйнштейна, и с их помощью вычислить правильное значение для прецессии орбиты Меркурия. Они также дают измеренное значение отклонения световых лучей, которые проходят вблизи Солнца, и нет никаких сомнений в том, что из них следуют правильные результаты для макроскопической гравитации. Теория гравитации Эйнштейна, или общая теория относительности (ОТО), как он сам ее назвал, является одним из величайших триумфов современной науки.
Если вы не можете отличить инерционную массу от гравитационной, то вы не можете отличить и гравитацию от ускорения. Эксперимент в гравитационном поле вместо этого может быть выполнен в ускоренно движущемся лифте в отсутствии гравитации. Когда космонавт в ракете ускоряется, удаляясь от земли, он испытывает силу тяжести, которая в несколько раз больше земной, причем подавляющая ее часть приходит от ускорения.
Если никто не может отличить гравитацию от ускорения, то первую всегда можно воспроизвести путем ускорения. Система, в которой ускорение заменяет силу тяжести, называется инерциальной. Поэтому Луну на околоземной орбите также можно рассматривать как инерциальную систему. Однако эта система будет отличаться от точки к точке, поскольку изменяется гравитационное поле. (В примере с Луной гравитационное поле изменяет направление из одной точки в другую.) Принцип, согласно которому всегда можно найти инерциальную систему в любой точке пространства и времени, в которой физика подчиняется законам в отсутствии гравитации, называется принципом эквивалентности.
Тот факт, что гравитационные силы можно рассматривать как ускорения в инерциальных системах координат, которые отличаются от точки к точке, означает, что гравитация - это геометрическое понятие.
Мы говорим, что пространство-время искривляется. Рассмотрим мяч на плоской поверхности. Он будет покоиться или, если нет никакого трения, равномерно двигаться при отсутствии действия каких-либо сил на него. Если поверхность искривляется, мяч ускорится и будет двигаться до самой низкой точки, выбирая кратчайший путь. Аналогичным образом теория Эйнштейна утверждает, что четырехмерное пространство-время искривлено, и тело движется в этом искривленном пространстве по геодезической линии, которой соответствует кратчайший путь. Поэтому гравитационное поле и действующие в нем на физические тела гравитационные силы - это геометрические величины, зависящие от свойств пространства-времени, которые наиболее сильно изменяются вблизи массивных тел.
