Как закон Всемирного Тяготения Ньютона действовал задолго до самого Ньютона, так и уравнение Бернулли существовало задолго до того, как родился сам Бернулли. Ему удалось лишь облечь это уравнение в наглядную форму, в чем его неоспоримая и огромная заслуга. Зачем мне уравнение Бернулли, спросите Вы, ведь я прекрасно жил и без него. Да, но оно может пригодиться Вам хотя бы на экзамене по гидравлике! Как говорится, «все не так уж плохо, если ты знаешь и можешь сформулировать уравнение Бернулли».
Даниил Бернулли – сын известного ученого Якоба Бернулли, швейцарский математик и физик. Жил с 1700 по 1782 годы, а с 1725 по 1733 трудился в Петербургской Академии наук. Помимо физики и математики Бернулли также изучал медицину наряду с Д’Аламбером и Эйлером считается отцом основателем математической физики. Успехи этого человека позволяют с уверенностью сказать, что это был настоящий «супермозг».
Д. Бернулли (1700-1782)
Помимо известной нам материальной точки и идеального газа существует также идеальная жидкость . Какой-нибудь студент, конечно, может подумать, что эта жидкость – его любимое пиво или кофе, без которого невозможно жить. Но нет, идеальная жидкость – это жидкость, которая абсолютно несжимаема, лишена вязкости и теплопроводности. Тем не менее, такая идеализация дает вполне хорошее описание движения реальных жидкостей в гидродинамике.
Течением жидкости называется движение ее слоев относительно друг друга или относительно всей жидкости.
Помимо того есть разные режимы течения жидкости. Нас интересует тот случай, когда скорость потока в какой-то конкретной точке не меняется со временем. Такой поток называют стационарным. При этом скорость течения в различных точках стационарного потока может различаться.
– совокупность частиц движущейся жидкости.
Но как описать движение жидкости? Для этого нам нужно знать вектор скорости частиц, точнее зависимость его от времени. Совокупность скоростей в разных точках потока дает поле вектора скорости.
Рассмотрим стационарное течение жидкости по трубке. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другой – S2. При стационарном потоке через оба сечения за одинаковый промежуток времени пройдет одинаковое количество жидкости.
Данное уравнение – уравнение неразрывности струи.
Узнав его, Бернулли решил установить связь между давлением и скоростью жидкости в разных сечениях. Полное давление – это сумма статистического (обусловлено потенциальной энергией жидкости) и динамического давлений (обусловлено кинетической энергией). Оказывается, сумма статического и динамического давлений в любом сечении трубы постоянна. Само же уравнение Бернулли имеет вид:
Физический смысл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии. Первый член уравнения Бернулли – это кинетическая энергия, второе слагаемое уравнения Бернулли – потенциальная энергия в поле силы тяжести, третье – работа силы давления при подъеме жидкости на высоту h.
Вот и все, друзья, не так уж и страшно. Совсем немного времени, а Вы уже знаете уравнение Бернулли. Даже если Вы не знаете больше ничего, с этими знаниями идти на экзамен или зачет гораздо лучше, чем просто так. А если Вам необходима помощь в том, как решать задачи на уравнение Бернулли – не стесняйтесь и оформляйте заявку. После того как распишут решение уравнения Бернулли максимально подробно, у Вас не останется пробелов в знаниях.
Рассмотрим ламинарное движение идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости в изогнутой трубке разного диаметра. Мы уже знаем, что из уравнения непрерывности жидкости S⋅v = const. Какие ещё можно сделать выводы?
Рассмотрим трубку разного сечения:
Возьмём срез жидкости в трубке. Из уравнения непрерывности следует, что при уменьшении сечения трубы увеличивается скорость потока жидкости. Если скорость увеличивается, значит по второму закону Ньютона действует сила F = m⋅a. Эта сила возникает за счет разности давления между стенками сечения потока жидкости. Значит сзади давление больше, чем спереди сечения. Это явление впервые описал Даниил Бернулли.
Закон Бернулли
В тех участках течения жидкости, где скорость больше давление меньше и наоборот.
Как любое тело, жидкость при перемещении совершает работу, т.е. выделяет энергию или поглощает. Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку.
Рассмотрим, какую работу совершает жидкость:
Так как мы рассматриваем идеальную жидкость, то трение отсутствует, а значит нет работы силы трения. Но в реальной жидкости она присутствует.
По закону сохранения энергии:
E p + E h + E v = const
Давайте теперь определим, чем равняется каждая из этих работ.
Работа давления жидкости (E P)
Формула давления имеет вид: P = F/S, F = P⋅S. Работа силы создающая давление:
E P = P⋅S⋅ΔL = P⋅V
Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h)
Работа по перемещению жидкости на высоту h - это изменение потенциальной энергии которая равна:
E h = m⋅g⋅h = V⋅ρ⋅g⋅h
Работа по приданию скорости жидкости (E v)
Работа по приданию скорости жидкости - это кинетическая энергия, которая зависит от массы тела и его скорости и равна:
E k = m⋅v 2 /2 = V⋅ρ⋅v 2 /2
Получим формулу сохранения энергии жидкости:
P⋅V + V⋅ρ⋅g⋅h + V⋅ρ⋅v 2 /2 = const
Сократим каждое слагаемое на V. Получим уравнение:
Формула Бернулли
P + ρ⋅g⋅h + ρ⋅v 2 /2 = const
Разделим каждый член последнего уравнения ρ⋅g, получим
| h + | P | + | v 2 | = const | |
| ρ⋅g | 2g |
где h - геометрический напор, м;
P / ρ∙g - пьезометрический напор, м;
v 2 / 2g - скоростной напор, м.
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.
Сумма трех членов уравнения называется полным напором.
Или можно сказать по-другому - для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.
Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.
Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести
и
сил гидродинамического давления
.
Так
как
,
то
.
Учитывая,
что в общем случае скорость выделенного
элемента
,
его ускорение
.
Применив
к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения,
получим
Учитывая
то, что
и
что при установившемся движении
,
после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в
рассматриваемом сечении:
,
где
-
геометрический напор (высота), выражающий
удельную потенциальную энергию положения
частички жидкости над некоторой
плоскостью отсчета, м,
-
пьезометрический напор, выражающий
удельную энергию давления, м,
-
скоростной напор, выражающий удельную
кинетическую энергию, м,
-
статический напор, м.
Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.
В
практике технических измерений уравнение
Бернулли используют для определения
скорости жидкости
.
Уравнение
Бернулли можно получить еще и следующим
образом. Представим себе, что рассматриваемый
нами элемент жидкости является
неподвижным. Тогда на основании основного
уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в
сечениях 1 и 2 будет
.
Движение
жидкости характеризуется появлением
кинетической энергии, которая для
единицы веса будет равна для рассматриваемых
сечений
и
.
Полная энергия потока элементарной
струйки будет равна сумме потенциальной
и кинетической энергии, поэтому
.
Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.
Лекция №7
Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:
.
где
-
геометрический напор (высота), м,
- пьезометрический напор, м,
-
скоростной напор, м, 
- статический напор, м.
В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.
Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор
.
Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим
где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.
Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.
Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:
Л
иния
А, которая проходит по уровням в
пьезометрах, измеряющих в точках
избыточное давление, называетсяпьезометрической
линией
. Она
показывает изменение отсчитанного от
плоскости сравнения статического напора
Н
с
по длине потока. Пьезометрическая линия
отделяет область измерения потенциальной
и кинетической энергии.
Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).
Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой
,
т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.
Расходомер Вентури
Р
асходомер
Вентури представляет собой устройство,
устанавливаемое в трубопроводах и
осуществляющее сужение потока –
дросселирование. Расходомер состоит
из двух участков – плавно сужающегося
(сопла) и постепенно расширяющегося
(диффузора). Скорость потока в суженном
месте возрастает, а давление падает. В
наибольшем и наименьшем сечениях трубы
установлены пьезометры, показания
которых позволяют определить перепад
пьезометрического напора между двумя
сечениями трубы и записать
.
В
этом уравнении неизвестными являются
v
1
и v
2
.
Из уравнения неразрывности следует
,
что позволяет определить скоростьv
2
и расход жидкости через трубу
,
где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.
Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.
Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.
Бернулли уравнение
I
Берну́лли уравне́ние
дифференциальное уравнение 1-го порядка вида: dy/dx
+ Py
= Qy
α ,
где Р, Q
- заданные непрерывные функции от x
; α -
постоянное число. Введением новой функции z
= y --
α+1 Б. у. сводится к линейному дифференциальному уравнению (См. Линейные дифференциальные уравнения) относительно z.
Б. у. было рассмотрено Я. Бернулли в 1695, метод решения опубликован И. Бернулли в 1697. основное уравнение гидродинамики (См. Гидродинамика),
связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v,
давление в ней р
и высоту h
расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности ρ, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид: v 2 /
2 + pl
ρ + gh
= const, где g -
ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на ρ,
то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объёма жидкости, а др. 2 члена - его потенциальную энергию, часть которой обусловлена силой тяжести (последний член уравнения), а др. часть - давлением p. Б. у. в такой форме выражает закон сохранения энергии. Если вдоль струйки жидкости энергия одного вида, например кинетическая, увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается.
Поэтому, например, при сужении потока, текущего по трубопроводу, когда скорость потока увеличивается (т.к. через меньшее сечение за то же время проходит такое же количество жидкости, как и через большее сечение), давление соответственно в нём уменьшается (на этом основан принцип работы расходомера Вентури). Из Б. у. вытекает ряд важных следствий. Например, при истечении жидкости из открытого сосуда под действием силы тяжести (рис. 1
) из Б. у. следует: v 2 /2g = h или т. е. скорость жидкости в выходном отверстии такова же, как при свободном падении частиц жидкости с высоты h.
Если равномерный поток жидкости, скорость которого v 0 и давление p 0 ,
встречает на своём пути препятствие (рис. 2
), то непосредственно перед препятствием происходит подпор - замедление потока; в центре области подпора, в критической точке, скорость потока равна нулю. Из Б. у. следует, что давление в критической точке p
1 = p
0 + ρv
2 0 /2. Приращение давления в этой точке, равное p
1 - p
0 = ρv
2 0 /2, называется динамическим давлением, или скоростным напором. В струйке реальной жидкости её механическая энергия не сохраняется вдоль потока, а расходуется на работу сил трения и рассеивается в виде тепловой энергии, поэтому при применении Б. у. к реальной жидкости необходимо учитывать потери на сопротивление. Б. у. имеет большое значение в гидравлике (См. Гидравлика) и технической гидродинамике: оно используется при расчётах трубопроводов, насосов, при решении вопросов, связанных с фильтрацией, и т.д. Бернулли уравнение для среды с переменной плотностью р
вместе с уравнением неизменяемости массы и уравнением состояния является основой газовой динамики (См. Газовая динамика). Лит.:
Фабрикант Н.Я., Аэродинамика, ч. 1-2, Л.,1949- 64; Угинчус А. А., Гидравлика, гидравлические машины и основы сельскохозяйственного водоснабжения, К.-М., 1957, гл. V.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
- (интеграл Бернулли) в гидроаэромеханике (по имени швейц. учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli)), одно из осн. ур ний гидромеханики, к рое при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести имеет вид: где v… … Физическая энциклопедия
Связывает скорость и давление в потоке идеальной несжимаемой жидкости при установившемся течении. Бернулли уравнение выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяется в гидравлике и технической гидродинамике. Выведено Д.… … Большой Энциклопедический словарь
В аэро и гидродинамике соотношение, связывающее газо или гидродинамические переменные вдоль линии тока установившегося баротропного течения идеальной жидкости или газа в потенциальном поле массовых сил F = grad(Π), где (Π) потенциал: (Π) + V2/2 + … Энциклопедия техники
Связывает скорость и давление в потоке идеальной несжимаемой жидкости при установившемся течении. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяется в гидравлике и технической гидродинамике. Выведено… … Энциклопедический словарь
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1 го порядка где. действительное число, не равное нулю и единице. Это уравнение впервые было рассмотрено Я. Бернулли . Подстановкой Б. у. приводится к линейному неоднородному уравнению 1 го порядка (см.… … Математическая энциклопедия
Бернулли уравнение Энциклопедия «Авиация»
Бернулли уравнение - в аэро и гидродинамике соотношение, связывающее газо или гидродинамические переменные вдоль линии тока установившегося баротропного [ρ = ρ(p)] течения идеальной жидкости или газа в потенциальном поле массовых сил (F = ‑gradΠ, где Π … … Энциклопедия «Авиация»
- [по имени швейц. учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli; 1700 1782)] одно из осн. ур ний гидродинамики, выражающее закон сохранения энергии. 1) Б. у. для элементарной (с малым поперечным сечением) струйки идеальной жидкости: где р, РО и v статич.… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Связывает скорость и давление в потоке идеальной несжимаемой жидкости при установившемся течении. Б. у. выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяется в гидравлике и техн. гидродинамике. Выведено Д. Бернулли в 1738 … Естествознание. Энциклопедический словарь
Бернулли уравнение, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в … Большая советская энциклопедия
Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».
Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 - 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.
Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
- плотность жидкости, - скорость потока, - высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, - давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, - ускорение свободного падения.Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.
В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли .
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).
Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли . В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.
Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: 
.
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : 
.
Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.
