Измерение физических величин. Введение Обработка результатов измерений физических величин фокин

а) Погрешности измерений.

Количественная сторона процессов и явлений в любом эксперименте изучается с помощью измерений, которые делятся на прямые и косвенные.

Прямым называется такое измерение, при котором значение, интересующее экспериментатора величины находятся непосредственно из отсчета по прибору.

Косвенное - это измерение, при котором значение величины находится как функция других величин. Например, сопротивление резистора определяют по напряжению и току (R=).

Измеренное значение х изм. некоторой физической величиных обычно отличается от ее истинного значениях ист.. Отклонение результата, полученного на опыте, от истинного значения, т.е. разностьх изм. –х ист. = ∆х – называется абсолютной ошибкой измерения, а
– относительной ошибкой (погрешностью) измерения. Погрешности или ошибки делятся на систематические, случайные и промахи.

Систематическими ошибками называются такие ошибки, величина и знак которых от опыта к опыту сохраняется или изменяется закономерно. Они искажают результат измерений в одну сторону – либо завышая, либо занижая его. Подобные ошибки вызываются постоянно действующими причинами, односторонне влияющие на результат измерений (неисправность или малая точность прибора).

Ошибки, величина и знак которых непредсказуемым образом изменяются от опыта к опыту, называются случайными. Такие ошибки возникают, например, при взвешивании из-за колебаний установки, неодинакового влияния трения, температуры, влажности и т.д. Случайные ошибки возникают и из-за несовершенства или дефекта органов чувств экспериментатора.

Случайные погрешности исключить опытным путем нельзя. Их влияние на результат измерения может быть оценено с помощью математических методов статистики (малые выборки).

Промахами или грубыми погрешностями называются погрешности, существенно превышающие систематические и случайные погрешности. Наблюдения, содержащие промахи отбрасываются как недостоверные.

б) Обработка результатов непосредственных измерений.

Для надежности оценки случайных погрешностей необходимо выполнить достаточно большое количество измерений п . Допустим, что в результате непосредственных измерений получены результатых 1 ,х 2 ,х 3 , …,х п . Наиболее вероятное значение определяется как среднее арифметическое, которое при большом числе измерений совпадает с истинным значением:
.

Затем определяют среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения:
.

При этом можно оценить наибольшую среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения: S наиб. = 3S.

Следующий этап заключается в определении средней квадратичной ошибки среднего арифметического:

.

Ширина доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины будет определяться поабсолютной погрешности среднего арифметического:
, гдеt α , n – так называемый коэффициент Стьюдента для числа наблюденийп и доверительной вероятности α (табличная величина). Обычно доверительная вероятность в условиях учебной лаборатории выбирается 0,95 или 95%. Это значит, что при многократном повторении опыта в одних и тех же условиях, ошибки, в 95 случаях из 100 не превысят значения
. Интервальной оценкой измеряемой величиныxбудет доверительный интервал
, в который попадает её истинное значение с заданной вероятностью α. Результат измерения записывается:
.

Эту запись можно понимать как неравенство:.

Относительная погрешность:
Е ≤ 5% в условиях учебной лаборатории.

в) Обработка результатов косвенных измерений.

Если величину у измеряют косвенным методом, т.е. она является функцией п независимых величинх 1 ,х 2 , …,х п : у =f(х 1 ,х 2 , …,х п ), а значит
. Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

,

где частные производные вычисляются для средних значений
вычисляется по формуле средней квадратичной ошибки для непосредственного измерения. Доверительная вероятность для всех погрешностей, связанных с аргументамих i функции у задается одинаковый (Р = 0,95), такой же она задается и для у. Абсолютная погрешность
среднего значенияопределяется по формуле:
. Тогда
или. Относительная погрешностьбудет равна Е =
≤5%.

В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет).

Случай 1. Число измерений меньше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат x , определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.

2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений

.

3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность

.

4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений

.

5) Записывают окончательный результат по следующей форме:

, при
.

Случай 2 . Число измерений свыше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат

.

2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений

.

3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения

.

4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).

.

5) Записывается окончательный результат по следующей форме

.

Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности
принимают половину цены деления шкалы прибора (инструмента). Эту величину иногда называют предельной или приборной погрешностью и обозначают
(для нониусных приборов и секундомера
равна точности прибора).

Оценка достоверности результатов измерений

В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом оши­бка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой.

Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала
, чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины не выйдет за пределы указанного, так называемого доверительного интервала.

Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория ве­роятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся.

Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например,
. Это именно тот случай, с которым мы часто встречаемся при выполнении лабораторных работ по физике. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение (закон) Стьюдента.

Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал
, соответствующий заданной доверительной вероятности или решить обратную задачу.

Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях.

Пусть, например, произведено равноточных (в одинаковых условиях) измерений некоторой физической величины и вычислено её среднее значение . Требуется найти доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности . Задача в общем виде решается так.

По формуле с учётом (7) вычисляют

Затем для заданных значений n и находят по таблице (табл. 2) величину . Искомое значение вычисляется на основе формулы

(16)

При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр. Искомое значение доверительной вероятности берётся из таблицы (табл. 3) для заданного числа и вычисленного параметра .

Таблица 2. Значение параметра при заданных числе опытов

и доверительной вероятности

Таблица 3 Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε

Результатов измерений

Основные понятия, термины и определения

Измерение – определение значения физической величины опытным путем. Измерения подразделяются на две группы: прямые и косвенные. Прямое измерение - нахождение значения физической величины непосредственно с помощью приборов. Косвенное измерение – нахождение искомой величины на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, найденными в процессе прямых измерений. Например, для определения ускорения равноускоренного движения тела можно использовать формулу , гдеS - пройденный путь, t – время движения. Путь и время движения находят непосредственно в ходе эксперимента, то есть в процессе прямых измерений, а ускорение можно рассчитать по приведенной формуле и, следовательно, его значение будет определено в результате косвенного измерения.

Отклонение результата прямого или косвенного измерения от истинного значения искомой величины называется погрешностью измерения . Погрешности прямых измерений обусловлены возможностями измерительных приборов, методикой измерений и условиями проведения эксперимента. Погрешности косвенных измерений обусловлены “переносом” на искомую величину погрешностей прямых измерений тех величин, на основе которых она рассчитывается. По способу числового выражения различают абсолютные погрешности (ΔА ), выраженные в единицах измеряемой величины (А ), и относительные погрешности δA =(ΔA /A )·100%, выраженные в процентах.

Существуют погрешности трех видов: систематические, случайные и промахи.

Под систематическими погрешностями понимают те, причина возникновения которых остается постоянной или закономерно изменяется в течение всего процесса измерения. Источниками систематических погрешностей обычно являются неправильная юстировка приборов, закономерно изменяющиеся внешние факторы, неправильно выбранная методика измерений. Для выявления и исключения систематических погрешностей необходимо предварительно проанализировать условия измерения, провести контрольные поверки измерительных приборов и сопоставить получаемые результаты с данными более точных измерений. К неисключаемым систематическим погрешностям, которые необходимо учитывать при обработке результатов, относят погрешности используемых приборов и инструментов (приборные погрешности).

Приборная погре шность равна половине цены деления прибора ΔA пр = ЦД/2 (для приборов типа линейки, штангенциркуля, микрометра) или определяется по классу точности прибора (для стрелочных электроизмерительных приборов).

Под классом точности прибора γ понимают величину, равную:

где ΔA пр  приборная погрешность (максимальная допустимая абсолютная погрешность, одинаковая для всех точек шкалы); A max  предел измерения (максимальное значение показаний прибора).

Для электронных приборов формулы для расчета приборной погрешности приводятся в паспорте прибора.

Случайные погрешности возникают в результате действия различных случайных факторов. Этот вид погрешностей обнаруживается при многократном измерении одной и той же величины в одинаковых условиях с помощью одних и тех же приборов: результаты серии измерений несколько отличаются друг от друга случайным образом. Вклад случайных погрешностей в результат измерения учитывают в процессе обработки результатов.

Под промахами понимают большие погрешности, резко искажающие результат измерения. Они возникают как следствие грубых нарушений процесса измерений: неисправности приборов, ошибок экспериментатора, скачков напряжения в электрической цепи и т.д. Результаты измерений, содержащие промахи, должны быть отброшены в процессе предварительного анализа.

С целью выявления промахов и последующего учета вклада случайных и приборных погрешностей прямые измерения искомой величины проводят несколько раз в одних и тех же условиях, то есть проводят серию равноточных прямых измерений. Целью последующей обработки результатов серии равноточных измерений является:

Результат прямого или косвенного измерения должен быть представлен следующим образом:

А= (‹А› ± ΔА ) ед.изм., α = …,

где ‹А› – среднее значение результата измерений, ΔА – полуширина доверительного интервала, α – доверительная вероятность. При этом необходимо учитывать, что численное значение ΔА должно содержать не более двух значащих цифр, а значение ‹А› должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и ΔА .

Пример: Результат измерения времени движения тела имеет вид:

t = (18,5 ± 1,2) c; α = 0,95.

Из этой записи следует, что с вероятностью 95 % истинное значение времени движения лежит в интервале от 17,3 с до 19,7 с.

Случайные погрешности обладают следующими свойствами.

При большом числе измерений одинаковые по величине, но противоположные по знаку погрешности встречаются одинаково часто.

Большие по величине погрешности встречаются с меньшей вероятностью, чем малые. Из соотношений (1), переписав их в виде

Х = х 1 + х 1

Х = х 2 + х 2

Х = х n + х n

и сложив столбиком, можно определить истинное значение измеряемой величины следующим образом:

или
.

(2)

т.е. истинное значение измеряемой величины равно среднему арифметическому значению результатов измерений, если их бесконечно много. При ограниченном, а тем более при небольшом числе измерений, с которым мы обычно имеем дело на практике, равенство (2) носит приближенный характер.

Пусть в результате нескольких измерений получены следующие значения измеряемой величины Х: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1. Построим диаграмму распределения этих результатов, откладывая по оси абсцисс показания прибора в порядке их возрастания. Расстояния между соседними точками по оси абсцисс равны удвоенной максимальной ошибке отсчета по прибору. В нашем случае отсчет произведен до 0,1. Этому и равно одно деление шкалы, нанесенной на ось абсцисс. По оси ординат откладываем величины, пропорциональные относительному числу результатов, соответствующих тому или иному показанию прибора. Относительное число, или относительную частоту результатов, равных х к, будем обозначатьW(х к). В нашем случае

Каждому х к ставим в соответствие

(3)

где А – коэффициент пропорциональности.

Диаграмма, которую называют гистограммой, отличается от обычного графика тем, что точки не соединены плавной кривой линей, а через них проведены ступеньки. Очевидно, что площадь ступеньки над некоторым значением х к пропорциональна относительной частоте появления этого результата. Выбирая соответствующим образом коэффициент пропорциональности в выражении (3), можно эту площадь сделать равной относительной частоте появления результата х к. Тогда сумма площадей всех ступенек, как сумма относительных частот всех результатов, должна быть равна единице

Отсюда находим А=10. Условие (4) называется условием нормировки функции (3).

Если производить серии измерений по nизмерений в каждой серии, то при небольшомnотносительные частоты одного и того же значения х k , найденные из различных серий, могут значительно отличаться друг от друга. По мере увеличения числа измерений в сериях колебания в значенияхW(x k) уменьшаются и эти значения приближаются к некоторому постоянному числу, которое называется вероятностью результата х к и обозначается Р(х к).

Допустим, что, производя опыт, мы не отсчитываем результат до целых делений шкалы или их долей, а можем фиксировать ту точку, где остановилась стрелка. Тогда при неограниченно большом числе измерений стрелка побывает в каждой точке шкалы. Распределение результатов измерений приобретает в этом случае непрерывный характер и вместо ступенчатой гистограммы описывается непрерывной кривой y=f(x). На основании свойств случайных погрешностей можно заключить, что кривая должна быть симметрична и, следовательно, максимум ее приходится на среднее арифметическое значение результатов измерений, равное истинному значению измеряемой величины. В случае непрерывного распределения результатов измерений не имеет

смысла говорить о вероятности какого – либо из их значений, т.к. имеются значения, как угодно близкие к рассматриваемому. Теперь уже следует ставить вопрос о вероятности встретить при измерениях результат в некотором интервале около значения х к, равном
,
. Подобно тому как на гистограмме относительная частота результата х к равнялось площади ступеньки, построенной над этим результатом, на графике для непрерывного распределения вероятность нахождения результата в интервале (
,
), равна площади криволинейной трапеции, построенной над этим интервалом и ограниченной кривойf(x). Математическая запись этого результата имеет вид

если
мало, т.е. площадь заштрихованной криволинейной трапеции заменяется приблизительно площадью прямоугольника с тем же основанием и высотой, равнойf(х к). Функциюf(х) называют плотностью вероятности распределения результатов измерений. Вероятность найти х на некотором интервале равна плотности вероятности для данного интервала, умноженной на его длину.

Кривая распределения результатов измерений, полученная экспериментально для некоторого участка шкалы прибора, если ее продолжить, асимптотически приближая слева и справа к оси абсцисс, аналитически хорошо описывается функцией вида

(5)

Подобно тому как суммарная площадь всех ступенек на гистограмме равнялась единице, вся площадь между кривой f(х) и осью абсцисс, имеющая смысл вероятности встретить при измерениях хоть какое – либо значение х, тоже равна единице. Распределение, описываемое этой функцией, называется нормальным распределением. Основной параметр нормального распределения – дисперсия 2 . Приближенное значение дисперсии может быть найдено из результатов измерений по формуле

(6)

Эта формула дает близкое к действительному значение дисперсии только при большом числе измерений. Например, найденное по результатам 100 измерений σ 2 может иметь отклонение от действительного значения 15%, найденное по 10 измерениям уже 40%. Дисперсия определяет вид кривой нормального распределения. Когда случайные погрешности малы, дисперсия, как следует из (6), невелика. Криваяf(х) в этом случае уже и острее вблизи истинного значения Х и быстрее стремится к нулю при удалении от него, чем при больших погрешностях. Следующий рисунок покажет, как меняется вид кривойf(х) для нормального распределения в зависимости от σ.

В теории вероятностей доказывается, что если рассматривать не распределение результатов измерений, а распределение средних арифметических значений, найденных из серии по nизмерений в каждой серии, то оно тоже подчиняется нормальному закону, но с дисперсией, вnраз меньшей.

Вероятность нахождения результата измерений в некотором интервале (
) около истинного значения измеряемой величиныравна площади криволинейной трапеции, построенной над этим интервалом и ограниченной сверху кривойf(x). Величину интервала
принято измерять в единицах, пропорциональных корню квадратному из дисперсии
В зависимости от величиныkна интервал
приходится криволинейная трапеция большей или меньшей площади, т.е.

где F(k) – некоторая функция от к. Вычисления показывают, что при

k=1,

k=2,

k=3,

Отсюда видно, что на интервале
приходится приблизительно 95% площади под кривойf(x). Этот факт находится в полном соответствии со вторым свойством случайных погрешностей, которые утверждает, что большие по величине погрешности маловероятны. Погрешности, превышающие по величине
, встречается с вероятностью, меньшей 5%. Переписанное для распределения среднего арифметического значенияnизмерений выражение (7) принимает вид

(8)

Величина в (7) и (8) может быть определена на основании результатов измерений только приближенно по формуле (6)

Подставив это значение в выражение (8), мы получим справа уже неF(k), а какую – то новую функцию, зависящую не только от величины рассматриваемого интервала значений Х, но и от числа произведенных измерений
Причем

т.к. только при очень большом числе измерений формула (6) становится достаточно точной.

Решив систему двух неравенств, стоящих в скобке в левой части этого выражения относительно истинного значения Х, можем переписать его в виде

Выражение (9) определяет вероятность, с которой истинное значение Х находится в некотором интервале длиной около значения. Эта вероятность в теории ошибок называется надежностью, а соответствующий ей интервал для истинного значения – доверительным интервалом. Функция
рассчитана в зависимости отt n иnи для нее составлена подробная таблица. Таблица имеет 2 входа: поt n и поn. С ее помощью для данного числа измеренийnможно найти, задаваясь определенной величиной надежности Р, значения величиныt n , называемой коэффициентом Стьюдента.

Анализ таблицы показывает, что для определенного числа измерений с требованием роста надежности получаем растущие значения t n , т.е. увеличение доверительного интервала. Надежности, равной единице, соответствовал бы доверительный интервал, равный бесконечности. Задаваясь определенной надежностью, мы можем сделать доверительный интервал для истинного значения более узким, увеличивая количество измерений, т.к.S n при этом изменяется незначительно, аубывает и за счет уменьшения числителя, и за счет увеличения знаменателя. Произведя достаточное количество опытов, можно сделать доверительный интервал любой малой величины. Но при большомnдальнейшее увеличение числа опытов очень медленно уменьшает доверительный интервал, а количество вычислительной работы намного возрастает. Иногда в практической работе удобно пользоваться приближенным правилом: чтобы уменьшить доверительный интервал, найденный по небольшому числу измерений, в несколько раз, нужно увеличить число измерений во столько же раз.

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Возьмем в качестве опытных данных три первых результата из 12, по которым строилась гистограмма Х: 13,4; 13,2; 13,3.

Зададимся надежностью, которая обычно принята в учебной лаборатории, Р = 95%. Из таблицы для Р = 0,95 и n = 3 находим t n = 4,3.

или

с надежностью 95%. Последний результат принято записывать в виде равенства

Если доверительный интервал такой величины не устраивает (например в случае, когда приборная погрешность равна 0,1), и мы хотим уменьшить его вдвое, следует увеличить число измерений вдвое.

Если взять, например, последние 6 значений из тех же 12 результатов (для первых шести предлагается проделать расчет самим)

Х: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1,

то

Значение коэффициента t n находим из таблицы для Р = 0,95 и n = 6; t n = 2,6.

В этом случае
Изобразим на числовой оси доверительный интервал для истинного значения в первом и во втором случаях.

Интервал, рассчитанный по 6 измерениям, находится, как и следовало ожидать, внутри интервала, найденного по трем измерениям.

Приборная погрешность вносит в результаты систематическую ошибку, которая расширяет изображенные на оси доверительные интервалы на 0,1. Поэтому записанные с учетом приборной погрешности результаты имеют вид

1)
2)

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до
с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность
, где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина
называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2 . Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна
мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна
кг/м 3 .

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины
используется формула

, (1)

где - приборные ошибки прямых измерений величины , - частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

,
.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид

,

где
и
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.

погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где
- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки
, σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где - результат i -го измерения; - среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде
.

Интервал значений от
до
, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=… (7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

. (8)

.

.

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин
, можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y i

. (9)

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

Порядок выполнения работы

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

Абсолютная погрешность

;
.

5. Относительная погрешность, или точность измерений

; Е = 0,5%.

6. Запись окончательного результата

Окончательный результат для исследуемой величины записывается в виде

, Е = 0,5%.

Примечание. В окончательной записи число разрядов результата и абсолютной погрешности должно быть одинаковым.

6. Графическое представление результатов измерений

Результаты физических измерений очень часто представляют в графической форме. Графики обладают рядом важных преимуществ и ценных свойств:

а) дают возможность определить вид функциональной зависимости и пределы, в которых она справедлива;

б) позволяют наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой;

в) при построении графика сглаживают скачки в ходе функции, возникающие за счет случайных ошибок;

г) дают возможность определять некоторые величины или проводить графическое дифференцирование, интегрирование, решение уравнения и др.

Рафики, как правило, выполняются на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической, полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями x и у. При выборе начала координат следует руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась вся площадь чертежа (рис.2.).

На координатах осях графика указываются не только названия или символы величин, но и единицы их измерения. Масштаб по осям координат следует выбирать так, чтобы измеряемые точки располагались по всей площади листа. При этом масштаб должен быть простым, чтобы при нанесении точек на график не производить арифметических подсчетов в уме.

Экспериментальные точки на графике должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные при различных условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить разными цветами или разными значками. Если известна погрешность эксперимента, то вместо точки лучше изображать крест или прямоугольник, размеры которого по осям соответствуют этой погрешности. Не рекомендуется соединять экспериментальные точки между собой ломаной линией. Кривую на графике следует проводить плавно, следя за тем, чтобы экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой, как показано на рис.3.

При построении графиков помимо системы координат с равномерным масштабом применяют так называемые функциональные масштабы. Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при подборе к данному графику формулы для определения его параметров. Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб (рис.4).

От конкретных условий, требований и возможностей оценки погрешности результатов измерений . Согласно общим положениям информационной теории...